高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 ：函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等 值线指向数值较高的等值线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数， 梯度概念可以推广到三元函数的情形.设函数x,八，z)在空间区域G内具有一阶连续偏 导数，则对于每一点P(x,yo,0)∈G,都可定出一个向量 f(x0y0,20)i+f(0,0,z0/j+f(xoyo,20)k 这向量称为函数x,,z)在点Po(xo,o,z0)的梯度，记为gradfxo,yo,2),即 grad fxo,yo zo)f(xo,yo,zo)i+(xo,yo,zo)(xo,yo,zo)k. 结论：三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 Ax,y,2)=c 为函数的等量面的概念，则可得函数x,y,z)在点Pxo,y0,0)的梯度的方向与过点P的等量 面x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量 面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数， 例3求grad,1 x2+y2 解这里f(x,y) 1 x2+y2 因为 2x 过=-2y x(x2+y27’6x2+y27 所以 grad-1 2x 2y 2+y2= x2+y2y10x2+y2j. 例4设x,,z)=x2+y2+z2,求gradA1,-1,2). 解 grad(=(2x,2y,2z), 于是 grad1,-1,2)=(2,-2,4). 数量场与向量场：如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量)，则称 在这空间区域G内确定了一个数量场例如温度场、密度场等).一个数量场可用一个数量函 数M)来确定，如果与点M相对应的是一个向量F(M,则称在这空间区域G内确定了一个 向量场（例如力场、速度场等）.一个向量场可用一个向量函数F(0来确定，而 F(M)=P(M)i+O(M)j+R(M)k, 其中P(M0,QM0,R(M0是点M的数量函数， -5