74 数字困像处理（第三版） ab -1 单个值 T)- T(r) 单个值 0多个值单个值L-1 图3.17(a)非单调递增函数。显示了将多个值映射为单个值的方 式：（⑥）严格单调递增函数。这是一个双向的一一映射 一幅图像的灰度级可看成是区间0，L-]内的随机变量。随机变量的基本描绘子是其概率密度函 数(PDF)。令p,()和p,(s)分别表示随机变量r和s的概率密度函数.其中p的下标用于指示p,和 p,是不同的函数。由基本概率论得到的一个基本结果是，如果p,)和T)已知，且在感兴趣的值 域上T()是连续且可微的，则变换（映射）后的变量s的PDF可由下面的简单公式得到： p.O-p.( (3.3-3) 这样，我们看到，输出灰度变量s的PDF就由输入灰度的PDF和所用的变换函数决定[回忆可知， 和s由T(r)关联起来]。 在图像处理中特别重要的变换函数有如下形式： s=T(r)=(L-I)['p,(w)dw (3.3-4) 其中，w是积分的假变量。公式右边是随机变量r的累积分布函数(CDF)。因为PDF总为正，同忆 一下，一个函数的积分是该函数下方的面积，遵循式(334)的变换函数满足条件(a,因为函数下的 面积不随r的增大而减小。当在该等式中上限是r=(亿-)时，则积分值等于1(PDF曲线下方的面积 总是1)，所以s的最大值是(L-),并且条件b)也是满足的。 为寻找刚才讨论的相应变换的P,(s),我们使用式(3.33)。我们由基本积分学中的菜布尼茨准则 知道，关于上限的定积分的导数是被积函数在该上限的值，即 p.w-(-Dp.() 3.35) dr dr 把d/山的这个结果代入式(3.33)，并记住概率密度值为正，得到 a-n() (L-DP,(L-T 05xSL-1 (3.36) 从该公式的最后一行中的，(s)可知，这是一个均匀概率密度函数。简而言之，我们已证明执行武(3.34) 的灰度变换将得到一个随机变量s,该随机变量由一个均匀PDF表征。特别要注意，由该式可知T() 固a 取决于p,(),但正如式33-6)所指出的那样，得到的p,()始终是均匀的.它与p,()的形式无关