第五章疝力状忞分析 前面两章的分析结果表明,一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明,过同一点的不同方向面上的应力,一般情形下也是不相同的。因此,当提及应力时 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面”上的应力。此即应力的点和 面的概念 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态,是指过一点不同方向面上应力的集合 应力状态分析是用平衡的方法,分析过一点不同方向面上应力的相互关系,确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是,平衡对象既不是整体杆或某一段杆,也不是微 段杆或其一部分,而是三个方向尺度均为小量的微元局部 此外,本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法,作为分析和思考问题的一种手段, 快速而有效地处理一些较为复杂的问题,从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点,为了描述其应力状态,一般是围绕这一点作一个微 六面体,当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时,六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体,简称为徽元。一旦确定了微元各个面上的应力,过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而,还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此,一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态,它是应力状态中最一般的情形,称为空间 应力状态或三向应力状态 图5-1 图 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时,这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图5-2中所示为平面应力状态的一般情形 当图5-2所示的平面应力状态微元中的切应力 0,且只有一个方向的正应力作用 时,这种应力状态称为单向应力状态:当上述平面应力状态中正应力x=,=0时,这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析,横向荷载作用下的梁,在最大和最 小正应力作用点处,均为单向应力状态;而在最大切应力作用点处,大多数情形下为纯剪应 力状态。同样,对于承受扭矩的圆轴,其上各点均为纯剪应力状态 需要指出的是,平面应力状态实际上是三向应力状态的特例,而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态 22 第五章 应力状态分析 前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时， 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。此即"应力的点和 面的概念"。 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微 段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。 此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段， 快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1 一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微 六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体，简称为微元。一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图 5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态，它是应力状态中最一般的情形，称为空间 应力状态或三向应力状态。 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时，这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图 5-2 中所示为平面应力状态的一般情形。 当图 5-2 所示的平面应力状态微元中的切应力  xy = 0 ，且只有一个方向的正应力作用 时，这种应力状态称为单向应力状态；当上述平面应力状态中正应力  x =  y = 0 时，这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析，横向荷载作用下的梁，在最大和最 小正应力作用点处，均为单向应力状态；而在最大切应力作用点处，大多数情形下为纯剪应 力状态。同样，对于承受扭矩的圆轴，其上各点均为纯剪应力状态。 需要指出的是，平面应力状态实际上是三向应力状态的特例，而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态。 图 5-1 图 5-2