2 线性代数重点难点30讲 (2)由(1)已知x=0,y=1,故相似矩阵为 200 A=001,B 则A的特征值λ1=2,A2=1,A3=-1解方程组(A-入,E)x=0,分别求得A的三个特征 值对应的三个特征向量依次为: D1=(1,0,0),P2=(0,1,1),p3=(0,-1,1)T 由此可得可逆矩阵P=01-1,则有PAP=A=B 例5设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的 二重特征值,试求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵 解因为入=2是A的二重根,且对应的两个特征向量线性无关.即方程组(A-2E)x =0的基础解系所含解向量个数为2.则矩阵(A-2E)的秩R(A-2E)=1. A-2E= J-3x-20y+2 3-3 0 由于R(A-2E)=1故A-2E经初等行变换后的第二行必全为零,因此必有 2=0 0.即 因矩阵A的二重特征值λ1=k2=2已知,不用解特征方程求λ3,只要利用特征多项式 根与系数的关系:A1+A2+A3=4+A3=1+4+5,可求得λ3=6 解方程组(A=AB)x=0.依次得A1=2=2对应的特征向量p=(-110,p2 =(1,0,1),3=6对应的特征向量P2=(1,-2,3).故所求可逆矩阵 2 P=10-2.并且PAP 2 013 例6设实对称矩阵A=111,试求一正交矩阵P,使PAP成为对角阵 1-A 入0 0 12-1 13-x1|=x2(A-3) 00