第15讲矩阵的对角化 81 001 P 而P1= 111,则PAP1 同理,解B的特征方程,可得A1=-1,A2=1,A3=2,及求出属于这些特征值对应的特 征向量依次为p1=(0,1,1)2,p2=(1,0,0),p3=(0,0,1).由此得可逆阵P2=(P1,P2 P2,),即P2=100,而P≈/010 010 1 00,则P2B:= 由此可得 B= P2 1P2=P2(P1AP1)P2=(P2P1)A(P1P2) 2 即可求得可逆矩阵P=P1P2,使上式成立,故A与B相似 解法2因为矩阵A与B都有三个互不相等的特征值,故都能与对角阵相似,又因A与 B的特征值都相同,故它们都与同一个对角阵A= 相似即分别有可逆方阵 P,P,,E P: AP,= A, P: BP,=A. M B= P,AP:= P(P:AP,)P2 (P2P1)A(P1P2),故可求得可逆矩阵P=P1P2,使A与B相似 由解法2可以得出下述定理 若n阶方阵A与B有相同的特征值1,A2…,An(λ≠,i≠j,i,=1,2,…,n), 则A与B相似 例4设矩阵A与B相似,而 200 试求:(1)x与y的值;(2)可逆矩阵P,使PAP=B 解(1)解法1由相似矩阵的特征多项式相同,即由1A-AE|=|B-AE解出x 0 0 即 (2-A)(A2-x-1)=(2-A)(A2+(1-y)A-y), 由此得 解法2利用特征值的性质:设A与B的特征值为A1,A2,λ3,由A1·A2·λ3=1A A1·A2·A3=1B|=-2y,则y=1,又因A1+A2+A3=2+0+x=2+x,A1+A2+ λ3=1+y=2,则x=0(显然本题解法2简单)