线性代数重点难点30讲 5-33 0-2 能否与对角矩阵相似,并说明理由 IA-E I= 5 解得特征值A1=A2=k3=-1(是三重特征值),又因 3-12 A+E=5-23 0 r2+5r 0-1 000 ryr2 010 故R(A+E)=2 因而方程组(A+E)x=0的基础解系所含的解向量的个数仅有一个,即属于特征值λ =-1的特征向量仅有一个线性无关的特征向量根据n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量可知,所给三阶方阵A不能对角化 注意当A有重特征值时,A可能相似于对角矩阵,也可能不相似于对角矩阵,这时要 研究A能否相似于对角矩阵的问题,仅由特征值是不能确定的,还需研究特征向量A能否 相似于对角矩阵,取决于属于A的每个重特征值的线性无关向量个数是否等于该特征值的 重数 例3试判断下列矩阵是否相似 200 100 001 010 解法1根据相似矩阵的定义,只要能找到可逆矩阵P,使B=PAP,则A与B相似 由A的特征方程1A-AE|=0,即 2-A00 0-1=2(2-)-(2-)=(x+1)(x-1)(2-)=0 解出A1=-1,2=1,A3=2,以及求出属于这些特征值的特征向量依次为 P1=(0,-1,1)2,P2=(0,1,1)2,p3=(1,0,0) 由此得出可递矩阵P1=(P1,P2,P),即