limf(x)=4 例3设 x-2,证明x2 4 证 由于当x≠2时, X ,故对给定 的E>0,只要取6=E,则 0k-25时有()-4<C。这就证明了1m lim f(x)=4 lim sin x= sin Xo lim cosx= cos x 例4证明:1)x→b 0 丌 <X< 证先建立一个不等式:当 2时有 smx<x< tanx (3) 0< 事实上,在如图3-2的单位圆内,当 2时,显然有 S△ocD<SH彩OAD<S△OAB sin x<-x<-tan x 2,由此立得(3)式。 X 又当2时有nx≤1<x,故对一切x>0都有inx<x;当x<0时,由 得-Smx< 综上,我们又得到不等式 I sin x|<xx∈R 其中等号仅当x=0时成立。 现证1)。由(4)式得 x52-动 对任给的C>0,只要取。=e,则当0<kx-x列1<6时,就有四x一如列<E。 lim sin x= sin x 所以 2)的证明留给读者作为练习。 66 例 3 设 ，证明 。 证 由于当 时， ，故对给定 的 ，只要取 ，则 当 时有 。这就证明了 。 例 4 证明：1） ； 2） 证 先建立一个不等式：当 时有 （3） 事实上，在如图 3-2 的单位圆内，当 时，显然有 ， 即 ，由此立得（3）式。 又当 时有 ，故对一切 都有 ；当 时，由 得 。 综上，我们又得到不等式 ， （4） 其中等号仅当 时成立。 现证 1）。由（4）式得 。 对任给的 ，只要取 ，则当 时，就有 。 所以 。2）的证明留给读者作为练习