总是成立的,因为开平方可能引起的正负号的差错正好抵消了。 【例2】用哈密顿一雅可比方程解开普勒( Kepler)问题 因为 a=0,所以H-J方程可表为/ aH E 取平面极坐标H=|p 06 应有S=-E+W(;,O,E,J)+C,r,O,E,相当于(8)-(12)式中的q1,q2,E,n 本例H与(13)稍不同,(15)(16)(8)(11)(12)应作适当调整,但关键的一点是 这个方程仍能用分离变量法来求解,事实上,设W=W()+H2(0),得 amIe+ J厂2(第一边与无关,第二边与r无关,所 以它们只能都等于常数,由第二边知常数非负,设为J2)积分得 W()=/2mE W2(0)=J0 (2)-J2m(E - dr+Je W中的相加常数均可归入C,未写出 进一步按(8)一(12)求得正则方程的积分 dw P mle dw2 pe mdr 2ml e+ (3) 对于椭圆,有t-t=W_「m r E E 2m E9 总是成立的，因为开平方可能引起的正负号的差错正好抵消了。 【例 2】用哈密顿—雅可比方程解开普勒（Kepler）问题。 因为 = 0   t H ，所以 H－J 方程可表为 q E q W H =          , 取平面极坐标 r r p p m H r   −        = + 2 2 2 2 1 E r W r r W m − =                  +          2 2 2 1 2 1 应有 S = −Et +W(r,,E, J )+C，r E J , , ,  相当于（8）－（12）式中的 1 2 2 q q E , , , ， 本例 H 与（13）稍不同，（15）（16）（8 ）（11）（12）应作适当调整，但关键的一点是 这个方程仍能用分离变量法来求解，事实上，设 ( ) ( ) 1 W2 W =W r + ，得 2 2 1 2 2 2 2 dW dW m E r J dr r d           − − + = =                   （第一边与无关，第二边与 r 无关，所 以它们只能都等于常数，由第二边知常数非负，设为 J 2）积分得 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 , 2 J W r m E dr r r W J J W r m E dr J r r         = + −     =   = + − +       W 中的相加常数均可归入 C，未写出。 进一步按（8）－（12）求得正则方程的积分 2 2 1 2 r J r m E dr dW pr  −      = = +  （1） J d dW p = =   2 （2） 0 2 2 2 W mdr t t E J m E r r   − = =      + −    （3） 对于椭圆，有 0 2 2 2 2 W m rdr t t E E J r r E m E   − = =  − + − 