综上所述,在满足(13)的条件下,方程(9)的解可表为(14)的形式,(14)中的每一项 又可表为(16),从而方程(1)的完全解(8)可表为 S=-E+W(,E-n2-…-)+∑W(qnn)+C (8) 从而正则方程的积分(10)-(12)就可表为 d环 Pa (10) so s as awa aw awaW =2,3 (11) ana anaana an f-t dE dE (12) 可分离变量的条件,还可适当放宽,总之,只要能把偏微分方程化为常微分方程即可 4.应用举例 【例1】单摆只有一个自由度,H=E,(不存在n2,73,…) H2m/2 Pe-mglcos8 H= mgl cos 8=EE=- mgl cosCo 0为振幅 2(E+mgl co =√2m2 7g. cos0- cos a de S=-Et+w+c pe 218(cos 0-cos Bo) /g V2(E+ mgl cos e) J v2(cos 8-cosB) d 这就是有限摆幅的单摆的运动规律,(t单调增加,而θ周期性摆动,上式仅在半个周期 内成立。若B。>0,右边根号前应添一负号)此积分为椭圆函数,在小角度情况下 cos-cos≈(a2-02)是谐振子 2nP(E-1)=√2mP7=12mm102=mf)b此式倒不必调整正负号,8 综上所述，在满足（13）的条件下，方程（9）的解可表为（14）的形式，（14）中的每一项 又可表为（16），从而方程（1）的完全解（8）可表为 1 1 2 ( ) ( ) 2 , , s s S Et W q E W q C        = = − + − − − + +  （8 ） 从而正则方程的积分（10）－（12）就可表为 1,2 , dW p s dq    = =  （10） 1 1 , 2,3, , S W W W W s E                   = = + = − =      （11） 1 1 1 0 0 , S W W t t t t E E E     = − = = − +  = −    （12） 可分离变量的条件，还可适当放宽，总之，只要能把偏微分方程化为常微分方程即可。 4． 应用举例： 【例 1】单摆只有一个自由度， H E = ，（不存在 2 3  , , ）  cos 2 1 2 2 p mgl ml H = − 0 2 2 cos cos 2 1     mgl E E mgl d dW ml H  − = = −      =  0 为振幅。 ( )   = − + =           0 0 0 2 3 2 2 cos cos 1 2 cos m l g d d ml E mgl W S = −Et +W + C ( ) 0 2 3 p = 2m l g cos − cos ( ) ( )   − = + =   − =          0  0 0 2 0 2 cos cos / 2 cos d l g d E mgl ml E W t t 这就是有限摆幅的单摆的运动规律，（ t 单调增加，而  周期性摆动，上式仅在半个周期 内成立。若  0 >0，右边根号前应添一负号）此积分为椭圆函数，在小角度情况下 ( ) 2 2 0 0 2 1 cos − cos   − 是谐振子  ( )   2 2 2 2 2 2  2 1 p = 2ml E −V = 2ml T = 2ml ml = ml 此式倒不必调整正负号