令定理3(非齐次方程的通解的结构) 设y+(x)是方程y"+Px)y+Q(x)=x)的一个特解,Y(x)是方 程y"+P(x)y+Q(x)y=0的通解,那么 ≥=Y(x)+y*(x) 是方程y"+P(x)y+gx)=f(x)的通解 举例 已知Y=C1 COS x+c2sinx是齐次方程y"+y=0的通解, y*=x2-2是非齐次方程y"+y=x2的一个特解,因此 V=C,COS x+C sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解 上页 返回 结束首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程 证明提示: [Y(x)+y*(x)]+P(x)[Y(x)+y*(x)]+Q(x)[Y(x)+y*(x)] = [Y +P(x)Y+Q(x)Y]+[y*+P(x)y*+Q(x)y*] =0+f(x)=f(x) 举例: 已知Y=C1 cos x+C2 sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x 2-2是非齐次方程y+y=x 2的一个特解因此 y=C1 cos x+C2 sin x+x 2-2 是非齐次方程y+y=x 2的通解 ❖定理3(非齐次方程的通解的结构) 下页 设y*(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解 Y(x)是方 程y+P(x)y+Q(x)y=0的通解 那么 y=Y(x)+y*(x) 是方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解