1508 北京科技大学学报 第32卷 30 20m 三1.5 1.0 4 机架号 机架 30- 20 10 3 56 7 机架号 图1多目标优化的厚度，相对凸度和轧制力 Fig 1 Thickness eltive convexity and olling force ofmulticbjective otm ization 因此，提出一种新的优化方案：将进化算法的 变异方式进行改进，并且引入了梯度加速算法 种群分为多个子群，每个子群分别优化一个子目标 2.1变异方式的改进 函数，各子群之间独立进化，总目标函数取各子目标 以往文献给出的变异方式容易早熟收敛或 函数之和=J+十…+山当总目标函数达到终 者效率很低本文设计了一种兼顾种群多样性和搜 止条件时，则算法终止，并输出最优解.算法思想如 索效率的变异方式： 图2所示，VR表示预设的目标值. =+F叫一+一， (5) 开始 上述变异方式中，对于第代种群的第个体 初始化种群 $基向量仍然采用$表示在的基础上进行变 异，这样有利于保持初始种群的多样性，同时兼顾了 <VTR ,<TR, J<VTR 种群的进化方向.后面一项一丫是作为扰动引 入的，这样处理可以使变异后的个体都是由自身作 为基变量，保持了尽可能大的差异，从而保持了种群 标 目标n 的多样性.同时采用排序的方式选择。和兼 顾了种群的进化方向，因而是一种高效的变异方式. 2.2基于梯度的局域搜索 =J+++。 对于函数「以，=（￥￥；），其梯度可以 KVTR 表示为 Y (结束输出结果) a1=[器，]： x, (6) 图2算法流程图 Fg2 Agoritm fow chart 负梯度方向是函数的最速下降方向 以概率对种群粒子进行局域搜索，对种群中 2 MSSODE算法 较优的个体在负梯度方向进行一次直线搜索，来确 根据上一节的分析，本节利用差分进化算法设 定移动步长.直线搜索采用了黄金分割法.梯度加 计一种多子群目标分段的差分进化算法设计多子 速的流程如图3所示. 群的方法相当于对优化问题作降维处理但是本节 直线搜索的步骤为： 所设计的方法仅适用于各分段目标函数不存在耦合 步骤1试探性在个体附近确定一单谷搜索 的现象，适用于处理式(2所示形式的目标函数.为 区间{日. 提高算法的收敛速度和维持种群的多样性，这里对 步骤2计算=a叶B(b到，f=f).北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 1 多目标优化的厚度、相对凸度和轧制力 Fig.1 Thickness, relativeconvexityandrollingforceofmulti-objectiveoptimization 因此, 提出一种新的优化方案:将进化算法的 种群分为多个子群, 每个子群分别优化一个子目标 函数, 各子群之间独立进化, 总目标函数取各子目标 函数之和 J=J1 +J2 +… +Jn, 当总目标函数达到终 止条件时, 则算法终止, 并输出最优解 .算法思想如 图 2所示, VTR表示预设的目标值. 图 2 算法流程图 Fig.2 Algorithmflowchart 2 MSSODE算法 根据上一节的分析, 本节利用差分进化算法设 计一种多子群目标分段的差分进化算法, 设计多子 群的方法相当于对优化问题作降维处理, 但是本节 所设计的方法仅适用于各分段目标函数不存在耦合 的现象, 适用于处理式 ( 2)所示形式的目标函数 .为 提高算法的收敛速度和维持种群的多样性, 这里对 变异方式进行改进, 并且引入了梯度加速算法. 2.1 变异方式的改进 以往文献给出的变异方式 [ 5 -8]容易早熟收敛或 者效率很低, 本文设计了一种兼顾种群多样性和搜 索效率的变异方式 : x t+1 i =x t i+F( x t r1 -x t i+x t r2 -x t r3 ). ( 5) 上述变异方式中, 对于第 t代种群的第 i个体 x t i, 基向量仍然采用 x t i, 表示在 x t i的基础上进行变 异, 这样有利于保持初始种群的多样性, 同时兼顾了 种群的进化方向.后面一项 x t r2 -x t r3是作为扰动引 入的, 这样处理可以使变异后的个体都是由自身作 为基变量, 保持了尽可能大的差异, 从而保持了种群 的多样性 .同时采用排序的方式选择 r1, r2 和 r3, 兼 顾了种群的进化方向, 因而是一种高效的变异方式. 2.2 基于梯度的局域搜索 对于函数 f( x), x=( x1, x2, …, xn), 其梯度可以 表示为 [ 9] Δf(x) = f( x) x1 , f(x) x2 , …, f( x) xn T , ( 6) 负梯度方向是函数的最速下降方向. 以概率 p对种群粒子进行局域搜索, 对种群中 较优的个体在负梯度方向进行一次直线搜索, 来确 定移动步长.直线搜索采用了黄金分割法.梯度加 速的流程如图 3所示. 直线搜索的步骤为 : 步骤 1 试探性在个体 x t i附近确定一单谷搜索 区间 {a, b}. 步骤 2 计算 t2 =a+β( b-a), f2 =f( t2 ) . · 1508·