S3矩阵的乘积的行列式与秩S4矩阵的逆 教学目标掌握矩阵乘积的行列试与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、柜阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学重点：逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学方法：讲授法 教学过程 S3矩阵的乘积的行列式与秩 定理1设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么 AB=A B. 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 证明这是第二章§8中己经证明了的结论 用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的情形，即有 推论1设A,A,.,An是数域P上的n×n矩阵，则 4,4,.,An=44A 定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果4≠0；否则称为退化的. 然一 ×n矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于n 从定理1立刻推出 推论2设A,B是数域P上n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩我们有 定理2设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，则 秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩 证明为了证明(2)，只需要证明秩(AB)≤秩(A),同时秩(AB)≤秩(B),现在来分别证明这两个 §3 矩阵的乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 教学目标: 掌握矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学重点: 逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §3 矩阵的乘积的行列式与秩 在这一节我们来看一下矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系. 关于乘积的行列式有 定理 1 设 A B, 是数域 P 上的两个 n n 矩阵,那么 AB A B = , 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明 这是第二章§8 中已经证明了的结论. 用数学归纳法,定理 1 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 1 设 1 2 , , , A A A m 是数域 P 上的 n n 矩阵,则 1 2 1 2 , , , A A A A A A m m = . 定义 6 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退化的,如果 A  0 ;否则称为退化的. 显然,一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 n . 从定理 1,立刻推出 推论 2 设 A B, 是数域 P 上 n n 矩阵,矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A B, 中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩,我们有 定理 2 设 A 是数域 P 上 n m 矩阵, B 是数域 P 上 m s  矩阵,则 秩 ( ) min AB  [秩 ( ) A ,秩 ( ) B ], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明 为了证明(2),只需要证明秩( ) AB  秩( ) A ,同时秩( ) AB  秩( ) B ,.现在来分别证明这两个