不等式设 a1aam b,b2.b. D A= a21a2a2m bb2. ,B= ++t +++ （ama2am b2.bm 令B,B,.,Bn表示B的行向量，C,C,.,Cn表示AB的行向量.由计算可知，C,的第j个分量和 aB+a2B,+.+anBn的第j个分量都等于∑akbg,因而 C,=a1B+aaB2+.+aB (i=1,2,.,n), 即矩阵AB的行向量组C,C,·,C,可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也就 是说 秩(AB)≤秩(B) 同样，令A,A,.,A表示A的列向量，D,D,.,D表示AB的列向量由计算可知， D=bA,b4,.,bA (i=l,2,.,) 这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者 的秩，这就是说， 秩(AB)S秩(A) 用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的情形，即有 推论如果A=A4.4,那么 秩(4)≤in秩(4，) §4矩阵的逆 在2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是n×n矩阵 我们知道，对于任意n的级方阵A都有 AE=EA=A, 这里E是n级单位矩阵因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数 中的地位，一个复数a≠0的倒数a~可以用等式不等式.设 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 , s s m m ms b b b b b b B b b b       =      . 令 1 2 , , , B B B m 表示 B 的行向量, 1 2 , , , C C Cm 表示 AB 的行向量.由计算可知, Ci 的第 j 个分量和    i i im m 1 1 2 2 B B B + + + 的第 j 个分量都等于 1 m ik kj k a b =  ,因而 1 1 2 2 ( 1,2, , ), C B B B i n i i i im m = + + + =    即矩阵 AB 的行向量组 1 2 , , , C C Cn 可经 B 的行向量组线性表出.所以 AB 的秩不能超过 B 的秩,也就 是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) B . 同样,令 1 2 , , , A A A m 表示 A 的列向量, 1 2 , , , D D D s 表示 AB 的列向量.由计算可知, 1 1 2 2 , , , ( 1,2, , ) D b A b A b A i s i i i mi m = = . 这个式子表明,矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A 的列向量组线性表出,因而前者的秩不可能超过后者 的秩,这就是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) A . 用数学归纳法,定理 2 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 如果 A A A A = 1 2 t ,那么 秩 1 ( ) min j t A    秩 ( ) Aj . §4 矩阵的逆 在§2 我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是 n n 矩阵. 我们知道,对于任意 n 的级方阵 A 都有 AE EA A = = , 这里 E 是 n 级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看, n 级单位矩阵在 n 级方阵中的地位类似于 1 在复数 中的地位,一个复数 a  0 的倒数 1 a − 可以用等式