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则Y=f(Xx)的数学期望为 E(Y)=E[(X)]=If(x)Px(x)dx= ypr (y)dy 例3.8:设X~N(0,1),求E|X|。 解:E|XF=|x|p(x)d=」|x|-=e2dx 所以 E|X|= 推广到Z=f(X,Y)的数学期望。 离散型:设(X,Y)~PX=x,Y=y}=P1,1,j=12 则Z=f(X,Y)的数学期望为: E(Z)=E(X,=∑∑∫(x2,y)P1 连续型:设(x,Y)~p(x,y), 则Z=f(X,)的数学期望为 E(Z=EL(X, Y) f(x,yp(x, y) dxdy 特别E(X)=「∫x(xy)dh E(Y)=∫∫yp(xyoh 例39:设X,Y独立,且 X~N(0.1),y~N(0,1),求E(√X2+y2) 解:E(√X2+2)= y p(x, y) dxdy则Y = f (X ) 的数学期望为: E Y E f X f x p x dx yp y dy X Y ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = = 例 3.8:设 X~N(0,1) ,求 E | X |。 解: E X x p x dx x e dx x 2 2 2 1 | | | | ( ) | | − +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ = = π = π π π 2 [ ] 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 = − = +∞ − − +∞ ∫ x x x e e 所以 π 2 E | X |= 。 推广到 Z = f (X ,Y ) 的数学期望。 离散型:设(X ,Y ) P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,". ~ i j i j 则 Z = f (X ,Y ) 的数学期望为: ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 ( ) [ ( , )] ( , ) . i j i j pi j E Z E f X Y f x y 连续型:设(X ,Y )~p(x, y) , 则 Z = f (X ,Y ) 的数学期望为: E(Z) E[ f (X ,Y)] f (x, y) p(x, y) dxdy ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = 特别 ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(X ) = xp(x, y) dxdy ∫ ∫ 。 +∞ −∞ +∞ −∞ E(Y) = yp(x, y) dxdy 例 3.9:设 X,Y 独立,且 (0,1), (0,1) , ( ) 2 2 X~N Y~N 求 E X + Y 。 解: ( ) 2 2 E X + Y = ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ x + y p(x, y) dxdy 2 2
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