√x2+y2p2(x)1(y)ddh= dxdy 其中x= rose,y= rain, dxdy= drdo 四、数学期望的性质 性质 (1)E(C)=C,C为常数。 (2)E(CX)=CE(X) E(∑a1X)=∑aE(X) 特别E(X1±X2)=E(X1)±E(X2) (4)设X,Y相互独立,则有E(YY)=E(X)E(Y) 证明:E(X)=「「xp(x,y)dd xypx(x)py (y) dxdy ∫x:(x)d∫m(y)d=E(x)E(Y) 五、应用举例 例3.10:公共汽车起点站分别于每小时的10分,30分和55分钟发车 设乘客不知道发车时间,在每小时内随机到达车站,求乘客 车站的平均等候时间。 解:设乘客到达时刻为X,则X~U[0,60] Y为乘客等候的时间,则有 10-X ,0≤X<10 30-X Y=f(x)=155-X 10≤X<30 30≤X<55 60-X+10,55≤X<60= ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ x + y p x p y dxdy X Y ( ) ( ) 2 2 = x y e dxdy ( x y ) 2 1 2 2 2 2 2 1 − + +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ + ⋅ π = θ π π r e drd r 2 2 2 0 0 2 2 1 − +∞ ∫ ∫ = 2 2 2 2 0 2 π = − +∞ ∫ r e dr r 其中 x = r cosθ , y = rsinθ , dxdy = rdrdθ 四、 数学期望的性质 性质： （1） E(C) = C, C 为常数。 （2） E(CX ) = CE(X ) ， 3 ( ) ( ) 1 1 i n i i i n i E ∑aiX ∑a E X = = （ ） = 特别 ( ) ( ) ( ) E X1 ± X2 = E X1 ± E X2 （4）设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) = E(X )E(Y ) 证明： = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(XY) = xyp(x, y) dxdy +∞ −∞ +∞ −∞ xyp x p y dxdy X Y ( ) ( ) = xp x dx yp y dy = X Y ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(X )E(Y ) 五、应用举例 例 3.10：公共汽车起点站分别于每小时的 10 分，30 分和 55 分钟发车， 设乘客不知道发车时间，在每小时内随机到达车站，求乘客 在车站的平均等候时间。 解： 设乘客到达时刻为 X ，则 X～U[0,60]， Y 为乘客等候的时间，则有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ≤ < − ≤ < − ≤ < − ≤ < = = 60 10 , 55 60 55 , 30 55 30 , 10 30 10 , 0 10 ( ) X X X X X X X X Y f X