70 线性代数重点难点30讲 则由特征值与特征向量的定义可知f(A)是方阵B=f(A)的一个特征值 例4设p1,p2是方阵A的对应于特征值λ1,A2(A1≠A2)的特征向量,试证:p1+P2 不是A的特征向量 证因A1≠λ2,故p1,P2线性无关,假设p1+p2是A的对应于特征值λ的特征向量, 则 A(P1+P2)=A(P1+p2) (13.1 又因Ap1=A1p1,Ap2=A2P2,所以 A(p1+p2)=A1p1+k2p2, (13.2) 由(13.1)式,(13.2)式可得λ1p1+A2p2=A(p1+p2)=λp1+Ap2,即 (A-A1)p+(A-A2)p2=0 因p1,P2线性无关,故只有-A1=k-2=0,由此推出A1=2,这与已知矛盾故P1+ p2不是A的特征向量 例5设矩阵A=5b3,其行列式1A|=-1,又A的伴随矩阵A 有一个特征值为A0,属于的一个特征向量为a=(-1,-1,1).试求:a,b,c及入0的值 解由题设条件知:Ag=λa.若由此来计算所求数值,则计算繁琐,为此对上式两 端同左乘A,得 AA a= doAa, 由于AA'=1A|E=-E(A|=-1),故有-a=AAa,即方程组 +1 λa(-5-b+3)=1, (13.4) λ(-1+c-a)=-1. (13.5) 解上述方程组:(13.3)式+(13.5)式得2A(c-a)=0,因A0≠0(由A|=-1≠0,若 A是A的特征值则≠0,A的一个特征值为A=≠0,故c-a=0.即a=c 代入(13.3)式得A0=1,把A0代入(13.4)式得b=-3,将a=c,b=-3代人|A1,即 A|= 1-a 0 10