第13讲特征值与特征向量 1,1),p2=(1,0,-1),p3=(1,2,-4),试求方阵A及A∞ 解这是已知A的特征值特征向量,反过来求方阵A.这类问题所给定的特征向量数 目等于A的阶数,则由特征值与特征向量的定义有 AP, =-P,, Ap2= P2, AP3 =P3. A(P1,P2,p3)=(Ap1,Ap2,Ap3)=(-p1,p2,p3) 令(p1,P2,P3)=P,则 AP=P1,由此A=P P-l 232 P=(p1,P2,p3)=-102|,P1=|-2-5-3 11 232 故 124 111 344001 676 676 474= 故 (A2)s0 例3设f(x)=anx”+am1xm1+…+a1x+a是关于x的多项式(a1,i=0,1 2,…,m为常数),A为方阵方阵B=f(A)=anA”+amAm1+…+a1A+anE是关 于方阵A的多项式证明:若是方阵A的一个特征值则f()是方阵B=f(A)的一个 持征值 证设p是A的对应于特征值λ的特征向量,则Ap=A 对上式两端都左乘A,则有 A p= A dp= AAp= xp 个特征值为2,类似证明可得 A'p=xp(k=1,2,…m) 由此得出 f(A)P=aA"p+am-1A"p+.+a Ap+ ao Ep and p+am-id p+.+ a,Ap++ ao p