线性代数重点难点30讲 解出 A1=1时,解方程组(C-A1E)x=0 2-132 132 C-d,E 14-12 132 30 06 031 0 000 000 000 由此得同解方程组 令x3=3,则可得A1=1对应的特征向量p1=(-3, 1,3),则A1=1对应的全部特征向量为k1p1(k1≠0,k1∈R) λ2=A3=3时,解方程组(C-3E)x=0, C-3E=1 00 01 由此得同解方程组 = 3 令x3=1,则可得特征值λ2=A3=3对应的特征向量p2 =(1,-1,1),A2=A3=3对应的全部特征向量为k2P2(k2≠0,k2∈R) 注意(1)由(1)、(2)、(3)题可见,方阵有“几重”特征值,不见得对应的线性无关的特 征向量也有“几个”例如(2)题A1=2=-1是方阵B的二重特征值,对应的线性无关的特 征向量有两个,而(3)题中,A2=A3=3是方阵C的二重特征值,但对应的特征向量只有 个 (2)解特征方程,求特征根是一个难点求1AE-A1=0的根时,需要分解因式,但三 次或三次以上的多项式没有一般因式分解方法,给计算带来困难.若能在计算过程中就把 因子分解出来,就可简化计算.一般可采用如下两种提取1AE-A1公因子的方法:①把 AE-A的各行(或各列)加起来,若相等,则把相等的部分提出来后,剩下部分是一个 次多项式,肯定可以分解因式;②把|AE-A1的某一行(或某一列)中不含λ的两个元素 之一化为零,往往会出现公因子,提取即可 例2设三阶方阵A有特征值A1=-1,A2=A3=1,对应的特征向量分别为p1=(1