第5期 刘敏，等：手写运动的协作基元合成分析方法 ·407· 问题2已知激活时间{T:}的情形下，确定协 式中：0为全零的列向量，e。表示仅有第k个元素为 作基元{w:(t)}和调制幅度{c:}. 1其余为零的T维列向量.结合式(6)~(8)，得到 问题3已知协作基元{w:(t)}和调制幅度 WH=W⊙ (9) {c}的情形下，估计激活时间{r:. 式中：H为第i个波形的调制结构矩阵，定义为 本文求解问题1的基本思路是：采用交替迭代 H:=[0…0⊙0…0]r (10) -1 N-i 计算模式组织上述2个子问题的求解过程，进而间 式中：0是T×T方阵，综合式(1)、(4)、(5)、(7)和 接实现问题1的求解.特别地，在每一轮迭代过程 (9),得到矩阵因子分解的表示形式： 中，问题2的求解环节将以上一轮问题3的求解结 M=WH. (11) 果作为激活时间{τ：}的估计值，问题3的求解环节 则以此轮问题2的结果作为协作基元{w:(t)}和调 式中：H=1cH 注解4式(11)给出了手写运动数据的结构化 制幅度{c}的估计，由此形成问题1的交替迭代求 因子分解表示形式，其中调制结构矩阵H,完全由 解过程.不难看出，寻找问题2和问题3的求解方法 激活时间T:确定，是对矩阵因子H的结构约束 成为解决问题1的关键，是本文的主要研究内容.需 要指出的是，在问题2中，尽管激活时间{T:}已知， 至此，问题2的求解可以归结为如下带结构约 束的矩阵因子分解问题， 但考虑到协作基元的异步发生方式以及非负约束特 问题4对于数据矩阵M以及结构约束矩阵 性，仍然是求解问题1的难点问题.下一节将详细讨 {H},确定和e=[c1c2…cw]T使得 论实现问题2和问题3的求解方法. (w,c)arg minJ(W,c)=: W.c 2主要结果 M-w∑aI, 如上节所述，解决问题1的关键技术环节是寻 [W]前≥0，c≥0，Vij,k. (12) 找问题2和问题3的求解方法，即协作基元分解和 式中：IAIp=tr(ATA)n=(∑)为Frobenius 激活时间参数估计的方法，这是本节重点讨论的内 范数，[A]u表示矩阵A中(k,)处的元素， 容.首先建立协作基元分解的实现方法，然后给出激 注解5对于按式(4)构造的手写数据矩阵M, 活时间的估计策略， 一旦获得问题4的解巾，则按式(5)和(6)可直接提 2.1手写运动协作基元的分解 取出手写运动基元波形的离散序列{W:(). 考虑采用数位板获取的手写运动的离散采样数 注解6问题4的优化目标可以理解为极小化 据{m()j=1,2,…,T.本文拟在式(1)或式(3)的 合成分析模型(1)重构观测手写数据的二次残差. 基础上，将手写数据表示为因子分解的形式，进而能 注意到手写运动协作基元是描述手写运动在X轴 够利用因子分解的手段实现协作基元的波形分解。为 和Y轴速率分量的发生过程.为此，在问题4中引入 此，按如下方式构造手写运动观测数据矩阵M: 非负约束，以排除不合理的运动协作基元分解模式 M=col{m(t),m(t2),…,m(tr)}.(4) 不难发现，问题4面临着与无结构约束的非负 式中：col{1,”2,…,"m}表示由向量序列{y}按列排 矩阵因子分解相同的挑战，即目标函数J(W,c)关 成的矩阵，换言之，矩阵M的第j列为手写运动的 于(W,c)是非凸的.但同样可以借助J(W,c)分别 第j个观测样本m(),对应第个协作基元w:(t). 关于W和c的凸性，将问题4的求解问题分解为交 定义波形矩阵： 替迭代的2个凸优化过程.以下将结合梯度速降的 W=col{w:(t1),w:(t2),…,w:(tr)} (5) 迭代策略建立问题4的交替迭代求解算法， 进一步定义： 分别计算J(W,c)关于W和c的梯度，得到 W=[W1W2·Ww]. (6) 不失一般性，以下将激活时间x:理解为，其中1≤ =-2(MF-w阳H). l,≤l≤T,1≤i≤'≤N.注意到： al =-2u(MW.-HWWe.). W8=col{00,w:(t),…,w(tr-){.（7） 0c: 则求解问题4对应的增量迭代规律可以表示成： 式中：®是T×T方阵，且 []a←-[m]u+6u[M-War]a,(13) ⑨，=col{0,-0,e1,…,er- (8) c:+c+n:tr(MWe -Awwe )(14)