《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 5.f(x)=xsin x+7x 6.f(x)=x+x2+x'cosx: 7.f)snxx 8.f)=5smx+3g。 x 0.yh. 二、反函数的导数 问题1设fx)=arcsinx,求f(x) 分析. 一般地，存如下结果： 定理4设x=p0)在区间(c,d)上连续，严格上升，在%∈(，d山点可导，且0)+0， x。=).则反函数y=f)在x0点可导，且 1 1 fx,)-pp】. 注若x=)在(c,)可导，导数>0（或<0），则反函数y=)存在，且 1 1 1 f=ppfp0-fw 这里导数>0（或<0）可推出)严格上升（下降），反函数之导数公式也可写成 少= 定理的证到要证) ”X一。存在，注意到这个比式是函数 y-6 80=-o）与y=w 的复合，由定理条件知 =得得只w四”d 1 1 y-0《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 4 5． f (x) = x sin x + 7x ; 6． f (x) x x x cos x 2 3 = + + ; 7． x tgx f (x) = x sin x ln x + 2 ; 8． x x tgx f x 5sin 3 ( ) + = ; 9． x x tgx e x y x ln 1 sin 2 + + = . 二、反函数的导数 问题 1 设 f (x) = arcsin x ,求 f '(x) . 分析 . 一般地,存如下结果： 定理 4 设 x = ( y) 在区间 (c, d ) 上连续,严格上升,在 ( , ) y0  c d 点可导,且 ( y0 )  0 , ( ) 0 0 x =  y .则反函数 y = f (x) 在 0 x 点可导,且 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 y f x f x   =   = . 注 若 x = ( y) 在 (c, d ) 可导,导数  0 (或 0) ,则反函数 y = f (x) 存在,且 ( ) ( ) 1 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) y f x y y f x f x  = =  =   =    . 这里导数  0 (或 0) 可推出 ( y) 严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成 dy dx dx dy 1 = . 定理的证明 要证 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 存在,注意到这个比式是函数 ( ) ( ) ( ) 0 0 y y y y g y  − − = 与 y = f (x) 的复合,由定理条件知 ( ) 1 0 ) 0 ( ) ( 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 y y y y y y y f x f x y y   y y    = − − = − − → →