第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 67 续表2 曲线坐标系 两者坐标间的关系 单位矢量间的变换矩阵 (,w'2,') (文献) asin0 s inhEs in 1·coshEcos0 r= coshcosθ 双球坐标系 cosh.cosθ 0 coshE-cosθ p= sinhEcos0.1 (5,99 0- sinhEsin as inhξ coshξ-cosθ cosh-cos0 2= cosh·cosd 0 0 asine 1·coshEcos0 sinhEsin0 r= coshξ-cos0 coshE.cosθ coshξ-cos0 双环坐标系 p=o sinhEsin coshξ-cos 0 coshEcos0-1 (E,0.9 coshξ.cos Z= coshξ·cos0 0 r(cosh·cos0) asinh 0 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系，以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢 量（记为A)为中介，根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量（记为A、A)与中介 矢量间的关系，可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系，即 A=MIA3 (22) A2=M2A; (23) 其中MM2分别为第1种和第2种曲线坐标系与第3种曲线坐标系间的变换矩阵。于是，由 式(22)和(23)，得 A2=M2MiA M2M'A (24) 其中M'为M,的转置矩阵 作为例子，不妨取第1、第2与第3种曲线坐标系分别为圆柱、圆球与直角坐标系，由表1 中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 r/ cosp =M y (25) 0 0 而由表1中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 x s inecos sinsinP cose 日 =M2 cosecos coses inp- (26) z sinp coso 0 7 将式(25)和(26)提供的关系代入式(24)，即得 R sin 0 cosθ 0 c0s00 M (27) 0 0 其中变换矩阵M即为表2中第一栏的变换矩阵。这样，由表1及表2中任何两种曲线坐标系续表 u 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 双球坐标系 kΝoΗoΥl ρ € ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ€ Υ ζ € ᶬ±ηΝ ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η sts 双环坐标系 kΝoΗoΥl ρ € ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ€ Υ ζ € ᶬ±Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ¦²¶«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ρk¦²¶«Νp ¦²¶Ηl ᶬ±«Η s 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢 量k记为 Α δ vl为中介o根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量k记为 Α δ t!Α δ ul与中介 矢量间的关系o可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o即 Α δ t € ΜtΑ δ v kuul Α δ u € ΜuΑ δ v kuvl 其中 Μt!Μu 分别为第 t 种和第 u 种曲线坐标系与第 v 种曲线坐标系间的变换矩阵∀ 于是o由 式kuul和kuvlo得 Α δ u € ΜuΜp t t Α δ t € ΜuΜ χtΑ δ t kuwl 其中 Μ χt 为 Μt 的转置矩阵∀ 作为例子o不妨取第 t!第 u 与第 v 种曲线坐标系分别为圆柱!圆球与直角坐标系o由表 t 中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 ρ δ Υ δ ζ δ € Μt ξ δ ψ δ ζ δ € ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st ξ δ ψ δ ζ δ kuxl 而由表 t 中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 Ρ δ Η δ Υ δ € Μu ξ δ ψ δ ζ δ € ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s ξ δ ψ δ ζ δ kuyl 将式kuxl和kuyl提供的关系代入式kuwlo即得 Ρ δ Η δ Υ δ € ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s ρ δ Υ δ ζ δ € Μ ρ δ Υ δ ζ δ kuzl 其中变换矩阵 Μ 即为表 u 中第一栏的变换矩阵∀ 这样o由表 t 及表 u 中任何两种曲线坐标系 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yz