即存在区间I上的可导函数F(x),使得对任一x∈I,有F'(x)=f(x)· 注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。 设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)+C]'=f(x),即F(x)+C也为f(x)的原函数， 其中C为任意常数。 注2：如果F(x)与G(x)都为∫(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即 F(x)-G(x)=C(C为常数) 注3：如果F(x)为∫(x)在区间1上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)可表达 ∫(x)的任意一个原函数。 定义2在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间1上的不定 积分，记为「fx)d。 如果F(x)为f(x)的一个原函数，则 ∫f(x)-F(x)+C,(C为任意常数) 1.因为写=，得达=号+C -子因此有 ∫片=h1x1+C 例3.设曲线过点(L,2),且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解。设曲线方程为y=,其上任一点化列处切线的斜率为密=2x 从而 y=[2xdx=x2+C 由)=2，得C=1,因此所求曲线方程为 y=x2+1 二、积分公式即存在区间 I 上的可导函数 F(x) ，使得对任一 xI ，有 F(x) = f (x) 。 注 1：如果 f (x) 有一个原函数，则 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 F(x) 是 f (x) 的原函数，则 [F(x) + C] = f (x) ，即 F(x) + C 也为 f (x) 的原函数， 其中 C 为任意常数。 注 2：如果 F(x) 与 G(x) 都为 f (x) 在区间 I 上的原函数，则 F(x) 与 G(x) 之差为常数，即 F(x) − G(x) = C （C 为常数） 注 3：如果 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C （ C 为任意常数）可表达 f (x) 的任意一个原函数。 定义 2 在区间 I 上， f (x) 的带有任意常数项的原函数，成为 f (x) 在区间 I 上的不定 积分，记为  f (x)dx 。 如果 F(x) 为 f (x) 的一个原函数，则 f x dx = F x + C  ( ) ( ) ，（ C 为任意常数） 例1． 因为 2 3 ) 3 ( x x  = ， 得  = + C x x ds 3 3 2 例2． 因为， x  0 时， x x 1 (ln ) = ； x  0 时， x x x x 1 ( ) 1 [ln( )] −  = − −  = ，得 x x 1 (ln | |) = ，因此有  dx = x +C x ln | | 1 例3． 设曲线过点 (1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解：设曲线方程为 y = f (x) ，其上任一点 (x, y) 处切线的斜率为 x dx dy = 2 从而  y = xdx = x + C 2 2 由 y(1) = 2 ，得 C =1 ，因此所求曲线方程为 1 2 y = x + 二、 积分公式