●●● ●●●● ●●●●● ●●●● ●●●●● ●●●● 在一般的黎曼幾何裏·兩點p和q之間可以有超過一條的路徑使得E(x) 是極短的。 事實上這些路徑一定是測地線’從球上的北極到南極有無窮多條測地線 般來說’很多測地線不是p和q間最短的線’它們只是局部最短的 即是說在[0,门的任意一個小的線段上是極短的 在給定p和q時’我們考慮一個包括所有曲線的空間 這個空固的的以弄街的是到Q丽弱地联开里的 Morse index 指標來決定( Morse指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數)’由 nq的拓樸可以推導空間本身的拓樸’這是Bot在古典群上的工作4 在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。 事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。 一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的， 即是說在[0,T]的任意一個小的線段上是極短的。 在給定p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間： 這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由 p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。  p,q = x :0,1→ M, x(0) = p, x(1) = q