对从变量，2，xn到变量，2，yn的线性变换(1.6)，利用矩阵的乘法，可以记为 y=X(1.7)。这里A是n阶方阵，如果可由(1.6)解出，x2,xn,得到唯一的表达 式(1.8)，那么，可以得到一个从，2，yn到x,2,xn的线性变换，称此线性变换为(1.6) 的逆变换，(1.8)可记为X=BY(1.9)。 )(00 由(1.7)和(1.9)两式得 B-F] -BY=B(4 →AB=BA=E。 定义对A,若B,使AB=BA=E,则称A可逆，B称为A的逆。 逆阵存在时一定唯一：B=BE=BAC=EC=C;记A1=B。 定义对于n阶方阵A,如果矩阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的：如果A的逆阵不 存在，则称A是不可逆的。 逆方阵的性质 性质1如果A可逆，则A有唯一的逆方阵，记为。 性质2如果矩阵A可逆，且AB=E,则必有A=E:如果矩阵A可逆，且BA=E,则必有B=E 推论：若AB=E或BA=E,则B=AP。 例2设n阶矩阵A,B满足A+B=AB,证明4-E可逆。 例3己知n阶矩阵A满足24A-)=户，证明E-A可逆。 例4已知矩阵A满足P+2A-3E=0,求(4+4)。 性质3如果阶方阵A,B都可逆，则AB可逆，并且(AB)l=Br。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即44，)1=4。 性质4如果方阵A可逆，则A可逆，而且-A。 性质5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零 性质6如果方阵A可逆，则可逆，且(=(y。 结论：n阶方阵A,B满足AB=E的充分必要条件为A,B都可逆，且A'=B,B=A。 窗《2w32的为三助库，功玖单位床，已知52B,: 求(4-E。 例2设A,B,A+B均为n阶可逆阵，证明 (1)A+B可逆，且(+B=MA+BB: (2)4A+BB=BA+BA。 6 对从变量 n x , x , , x 1 2  到变量 n y , y , , y 1 2  的线性变换（1.6），利用矩阵的乘法，可以记为 Y = AX （1.7）。 这里 A 是 n 阶方阵，如果可由（1.6）解出 n x , x , , x 1 2  ，得到唯一的表达 式（1.8），那么，可以得到一个从 n y , y , , y 1 2  到 n x , x , , x 1 2  的线性变换，称此线性变换为（1.6） 的逆变换，（1.8）可记为 X = BY （1.9）。 由（1.7）和（1.9）两式得 AB BA E X BY B AX BA X BA E Y AX A BY AB Y AB E  = =       = = =  = = = =  = ( ) ( ) ( ) ( ) 。 定义 对 A ，若 B ，使 AB= BA= E ，则称 A 可逆， B 称为 A 的逆。 逆阵存在时一定唯一： B = BE = B(AC) = EC = C ；记 A = B −1 。 定义 对于 n 阶方阵 A，如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则称 A 是可逆的；如果 A 的逆阵不 存在，则称 A 是不可逆的。 逆方阵的性质 性质 1 如果 A 可逆，则 A 有唯一的逆方阵，记为 −1 A 。 性质2 如果矩阵A可逆，且 AB = E ，则必有 BA = E ；如果矩阵A可逆，且 BA = E ，则必有 AB = E 。 推论：若 AB= E 或 BA= E ，则 −1 B = A 。 例 2 设 n 阶矩阵 A，B 满足 A+ B = AB ，证明 A− E 可逆。 例 3 已知 n 阶矩阵 A 满足 3 2A(A − E) = A ，证明 E − A 可逆。 例 4 已知矩阵 A 满足 2 3 0 2 A + A− E = ，求 1 ( 4 ) − A + E 。 性质 3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB可逆，并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即 2 1 1 1 1 2 (A A An ) An A A − − = 。 性质 4 如果方阵A可逆，则 −1 A 可逆，而且 A = A −1 −1 ( ) 。 性质 5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。 性质 6 如果方阵A可逆，则 TA 可逆，且 T T (A ) (A ) −1 −1 = 。 结论：n阶方阵A，B满足AB=E的充分必要条件为A，B都可逆，且 A = B B = A −1 −1 , 。 例 1 （2003 数四）设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位阵，已知AB=2A+B，           = 2 0 2 0 4 0 2 0 2 B ， 求 1 ( ) − A − E 。 例 2 设A，B，A+B均为n阶可逆阵，证明 （1） −1 −1 A + B 可逆，且 A B A A B B 1 1 1 1 ( ) ( ) − − − − + = + ； （2） A A B B B A B A 1 1 ( ) ( ) − − + = +