au.a4h…ah (11) 其中中…，2…n是两个n级排列。利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这个元素重新排一下使得它们的行指 标成自然顺序，也就是排成 aa2g…a (13) 于是它的符号是 (-)i6 (14) 现在来证明，(12)与(14)是一致的。我们知道，由(11)变到(13)可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列42…n与2…jn就都同时 作一次对换，也就是心2…)与U2…)同时改变奇偶性，因而它们的和 t(4…in)+t(Uj2…jn) 的奇偶性不改变。这就是说，对(11)作一次元素的对换不改变(12)的值。因此，在一系列 对换之后有 (-1D4Uh-=(-1D2G=(- 这就证明了(12)与(14)是一致的。 例如，a21424,a是4级行列式中一项，t(2314)=2,r1243)=l,于是它的符号应为 (-1)2=-1。如按行指标排列起来，就是a42a2ag,t(4123)=3因而它的符号也是(-)3=-1。 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因 而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 an an…an ia2…an ∑-l）w0a4ua2…an (15) an a2…anm 由此即得行列式的下列性质 性质1行列互换，行列式不变，即 a1a2…aa1a2…anl aian…an …… (16) an1an2…aaun a2n…anm 事实上，元素a,在(16)的右端位于第j行第i列，这就是说，i是它的列指标，j是它的 行指标。因之，把右端按(15)展开就等于 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 （11） 其中 n n i i i j j  j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列。利用排列的性质，不难证明，（11）的符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n  i i i + j j j （− ） （12） 事实上，为了根据定义来决定（11）的符号，就要把这 n 个元素重新排一下使得它们的行指 标成自然顺序，也就是排成 n a ja j anj 1 1 2 2 （13） 于是它的符号是 ( ) 1 2 ( 1) n j j j −   （14） 现在来证明，（12）与（14）是一致的。我们知道，由（11）变到（13）可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列 n n i i i j j  j 1 2 与 1 2 就都同时 作一次对换，也就是 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n  i i i 与 j j  j 同时改变奇偶性，因而它们的和 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n  i i i + j j  j 的奇偶性不改变。这就是说，对（11）作一次元素的对换不改变（12）的值。因此，在一系列 对换之后有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n  i i i + j j j （− ） = (12 ) ( ) 1 2 1 n n + j j j − （ ）    = ( ) 1 2 ( 1) n j j j −   这就证明了（12）与（14）是一致的。 例如， a21a32a14a43 是 4 级行列式中一项，  (2314) = 2, (1243) = 1, 于是它的符号应为 ( 1) 1 2 1 − = − + 。如按行指标排列起来，就是 , (4123) 3, a14a21a32a43  = 因而它的符号也是 ( 1) 1 3 − = − 。 按（12）来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因 而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 i i i n i i i i ii i n n n a a a   1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 = (−1)  （15） 由此即得行列式的下列性质 性质 1 行列互换，行列式不变，即 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 12 22 2 11 21 1 = （16） 事实上，元素 ij a 在（16）的右端位于第 j 行第 i 列，这就是说， i 是它的列指标， j 是它的 行指标。因之，把右端按（15）展开就等于