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Vol.28o.12 李海鹏等：基于盲数理论的机械稳健性优化设计 .1179. 布，设计变量为(xi,△x:)或者(x,⑧：)，其中xi, 于不可控因素，如果知道随机变量的分布类型和 △x,©：分别表示x:的名义值、容差和离差系数， 分布参数，则就可以按上面的方法盲数化，如果 则由“3σ”原则可以得到可控因素x:的均值= 不知道不可控因素的分布信息，则需要按图1程 和标准差，=学或者6，=3，这样就可 序来处理，在非盲数的稳健优化设计中，必须知 道不可控因素的分布信息，最好是分布的密度函 以把可控因素x:表示为离散的盲数形式， 数，获取这一分布信息除了需要大量的实验数据 对于其他的分布也完全可以根据模型的设计 外还需要在图1所示处理过程后加上对分布类型 变量把可控因素转换为离散的盲数形式，这就是 和分布参数的估计，如果实验数据不足，则估计 说设计变量控制着或决定着基于盲数的可控因素 带来的误差是很大的，这使设计结果不再可靠， 的内容和实质，这和实际情况是完全一致的，对 数据处理 设计问题中 样本数据 得到变量的 的随机事件 随机试验或观测 {x1x3x3…w} 盲数表达 图1未知分布的随机变量盲数化过程 Fig.1 Blind number procedure of stochastic variable distributing unknown 2稳健性的评价指标 量特性的权值，为y片的方差 3 由于设计对象品质的好坏由可控因素x和 基于盲数的稳健优化模型 噪声因素：来决定，而x和z都是不确定量，这样 在约束可行性方面定义可行域为口： 设计对象的品质可以表示为x和z的函数y= Al片%1-△，≤g≥a f(x,z),约束同样也是x和z的函数g= g(x,z),y和g都是不确定量.在给出了x和z 的盲数表达形式的情况下，自然也就获得了y和 (3) g的盲数表达形式y和g,进而求出y和g的 D是基于盲数的可行域，R{}为满足相关约束 均值（中，）和标准差(，) 的可信度，α∈(0,1)越大解的可行稳健性越好， 稳健性按如下两个指标来衡量门：稳健性体 y片是基于盲数的品质特性，y。是相关品质特性的 现在设计对象的主要质量特性对干扰因素不敏 理想值，△y是规定的相关品质特性的容差要求， 感，借用灵敏度指数SI(x,z)和期望损失函数 LQ(x,z)来表示，基于盲数的灵敏度指数和损 g}是基于盲数表达的约束，x”为基于盲数表达 失函数定义如下： 的可控因素，z为基于盲数表达的噪声因素， 2|地，二yai 在上面分析的基础上可以得出均值和容差相 1△y7+14y时min (1) 互独立的稳健优化数学模型为[门： 式中，S1,表示基于盲数的灵敏度指数，q为作稳 min+sI(x,△x,△x+) 健要求的质量特性个数，中为盲数y片的均值，y xb∈D (4) 为盲数y均值的理想值，△y和△y为规定的 st △x≤△x≤△x,x≤x≤xU y的容差要求 或者 L0-为，（时w]= min+LQ(x,△x,△x+) (5) 空[(9-+Pmin xb∈D (2) s.t. Ax≤Ax≤△x",≤x≤x 式中，LQ。为基于盲数的损失函数，D;为该项质 其中，U和L分别表示各变量的上、下界.布设计变量为（ xiΔxi）或者（ xiδi）其中 xi Δxiδi 分别表示 xi 的名义值、容差和离差系数 则由“3σ”原则可以得到可控因素 xi 的均值μx i＝ xi 和标准差σx i＝ Δxi 3 或者 σx i＝δixi／3这样就可 以把可控因素 xi 表示为离散的盲数形式． 对于其他的分布也完全可以根据模型的设计 变量把可控因素转换为离散的盲数形式．这就是 说设计变量控制着或决定着基于盲数的可控因素 的内容和实质这和实际情况是完全一致的．对 于不可控因素如果知道随机变量的分布类型和 分布参数则就可以按上面的方法盲数化．如果 不知道不可控因素的分布信息则需要按图1程 序来处理．在非盲数的稳健优化设计中必须知 道不可控因素的分布信息最好是分布的密度函 数．获取这一分布信息除了需要大量的实验数据 外还需要在图1所示处理过程后加上对分布类型 和分布参数的估计．如果实验数据不足则估计 带来的误差是很大的这使设计结果不再可靠． 图1 未知分布的随机变量盲数化过程 Fig．1 Blind number procedure of stochastic variable distributing unknown 2 稳健性的评价指标 由于设计对象品质的好坏由可控因素 x 和 噪声因素z 来决定而 x 和z 都是不确定量这样 设计对象的品质可以表示为 x 和 z 的函数 y＝ f （ xz ）约 束 同 样 也 是 x 和 z 的 函 数 g ＝ g（ xz ）y 和 g 都是不确定量．在给出了 x 和 z 的盲数表达形式的情况下自然也就获得了 y 和 g 的盲数表达形式 y b 和 g b进而求出 y b 和 g b 的 均值（μb yμb g）和标准差（σb yσb g）． 稳健性按如下两个指标来衡量［7］：稳健性体 现在设计对象的主要质量特性对干扰因素不敏 感借用灵敏度指数 SI （ xz ）和期望损失函数 LQ（ xz ）来表示．基于盲数的灵敏度指数和损 失函数定义如下： SIb＝ ∏ q j＝1 2｜μb yj—yo j｜ ｜Δy — j ｜＋｜Δy ＋ j ｜ ⇒min （1） 式中SIb 表示基于盲数的灵敏度指数q 为作稳 健要求的质量特性个数μb yj为盲数 y b j 的均值yo j 为盲数 y b j 均值的理想值Δy — j 和Δy ＋ j 为规定的 y b j 的容差要求． LQb＝ ∑ q j＝1 wjE［（ y b j—yo j） 2］＝ ∑ q j＝1 wj ［（μb j—yo j） 2＋σ2 yj ］⇒min （2） 式中LQb 为基于盲数的损失函数wj 为该项质 量特性的权值σ2 yj为 y b j 的方差． 3 基于盲数的稳健优化模型 在约束可行性方面定义可行域为［7］： D b α＝ x b R ∩ q j＝1 ｜y b j—yo j｜—Δyj≤0 ≥α1 R ∩ m j＝1 g b j（ x bz b ）≤0 ≥α2 （3） D b α是基于盲数的可行域R｛·｝为满足相关约束 的可信度α∈（01）越大解的可行稳健性越好 y b j 是基于盲数的品质特性yo j是相关品质特性的 理想值Δyj 是规定的相关品质特性的容差要求 g b j 是基于盲数表达的约束x b 为基于盲数表达 的可控因素z b 为基于盲数表达的噪声因素． 在上面分析的基础上可以得出均值和容差相 互独立的稳健优化数学模型为［7］： min xΔx —Δx ＋ SI b （ xΔx —Δx ＋） s．t． x b∈ D b α Δx L≤Δx≤Δx Ux L≤ x≤ x U （4） 或者 min xΔx —Δx ＋ LQ b （ xΔx —Δx ＋） s．t． x b∈ D b α Δx L≤Δx≤Δx Ux L≤ x≤ x U （5） 其中U 和 L 分别表示各变量的上、下界． Vol．28No．12 李海鹏等： 基于盲数理论的机械稳健性优化设计 ·1179·