A+C=0 B+D=0 B-D=3 解得A=1.C 所以 tanx+c x+12 (3) dx (x+1)(x+2)2(x+3)3 设 (x+1)(x+2)2(x+3) E x+2(x+2)2x+3(x+3)2(x+3)3 A(x+2)(x+3)3+B(x+1)(x+2)x+3)3+C(x+1)(x+3) +D(x+1x+2)2(x+3)2+E(x+1)(x+2)2(x+3)+F(x+1)(x+2)2=x 令 得到 令 得到 令 得到F 再比较等式两边x3、x4的系数与常数项,得到 13A+12B+C+11D+E=0 108A+54B+27C+36D+12E+4F=0 于是解得A=-1,B=-5,C=2,D E 13F=3,即 (x+1)(x+2)2(x+3)3 2 x+ 所以 187⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = + = 3 2 0 0 B D A C B D A C ， 解得 2 3 , 2 3 A = 1,C = −1, B = D = − 。所以 ∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 = ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − dx x x dx x x x x 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln arctan 2 1 4 1 2 x x x C x x − − = + − + + + 。 （3） x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 设 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x + + + + + + = 2 1 2 (x 2) C x B x A 2 3 3 ( 3) ( + 3) + + + + x F x E x D ，则 2 3 3 3 A(x + 2) (x + 3) + B(x +1)(x + 2)(x + 3) + C(x +1)(x + 3) + D x + x + x + + E x + x + x + + F x + x + ≡ x 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) 。 令 x = −1，得到 1 8 A = − ；令 x = −2，得到C = 2；令 x = −3，得到 3 2 F = ； 再比较等式两边 5 x 、 4 x 的系数与常数项，得到 0 13 12 11 0 108 54 27 36 12 4 0 A B D A B C D E A B C D E F ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎩ + + + + + = 。 于是解得 2 3 , 4 13 , 8 41 , 5, 2, 8 1 A = − B = − C = D = E = F = ，即 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x 2 2 3 2( 3) 3 4( 3) 13 ( 2) 2 8( 3) 41 2 5 8( 1) 1 + + + + + + + + + − + = − x x x x x x 。 所以 187