第四节随机变量的函数及其分布 在实际中，我们常要讨论随机变量函数的分布。例如在测量圆轴的截面积时，往往 只能测量到圆轴的直径d,然后由函数A=π/4得到截面积的值。在这一节中，我 们讨论如何由已知随机变量X的分布去求它的函数Y=g(门的分布，这里y=g() 是已知的连续函数。 一、离散型随机变量的函数的分布 设随机变量V的分布律为 P八X=x)=Pk,k=12,3,… 则当'=g()的所有取值为y,(=1,2,…)时，随机变量'有分布律 P(Y=y)=9,/=1,2,3,… 其中q,是所有满足g(x,)=y,的x,对应的的概率P(X=x)=P,的和，即 Y=y)=∑PK=x) g(xi=vi 例1设随机变量有以下分布律，试求随机变量P=(X-1)的分布律 ~1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解Y的所有可能取值为0,1,4。由 P=0)=P(X-1)2=0)=PX=1)=0.1, PY=1)=P(X-1)2=1)=PX=0)+PX=2)=0.7 PY=4)=P(X-1)2=4)=PY=-1)=0.2, 可得'的分布律为 0 4 P 0.1 0.7 0.2 二、连续型随机变量的函数的分布 设随机变量X的概率密度函数为∫r(x(-0<X<+∞)，则Y=g(的分布函数 为 1919 第四节 随机变量的函数及其分布 在实际中，我们常要讨论随机变量函数的分布。例如在测量圆轴的截面积时，往往 只能测量到圆轴的直径 d ，然后由函数 A d 2 4 得到截面积的值。在这一节中，我 们讨论如何由已知随机变量 X 的分布去求它的函数Y  g(X )的分布，这里 y  g( x) 是已知的连续函数。 一、 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 设随机变量 X 的分布律为 P(X  x )  p ,k 1,2,3,. k k 则当Y  g(X )的所有取值为 y j( j 1,2,) 时，随机变量Y 有分布律 P (Y  y j )  q j , j  1, 2 ,3 , 其中 q j是所有满足 g(x i)  y j的 x i对应的 X 的概率 P(X  x i)  p i的和，即      g xi y j P Y yi P X xi ( ) ( ) ( ) 例 例 1 1 设随机变量 X 有以下分布律，试求随机变量Y  (X 1) 2的分布律 解 Y 的所有可能取值为 0，1，4。由 ( 0) (( 1) 0) ( 1) 0.1, 2 P Y   P X    P X   ( 1) (( 1) 1) ( 0) ( 2) 0.7 2 P Y   P X    P X   P X   ( 4) (( 1) 4) ( 1) 0.2, 2 P Y   P X    P X    可得Y 的分布律为 二、连续型随机变量的函数的分布 随机变量的函数的分布 随机变量的函数的分布 随机变量的函数的分布 设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)(  X  ),则Y  g(X )的分布函数 为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2