.x=x-_ f (x) 为f(x)的根的一近似点。 f'(x)-f(x)f"(x) f'(x) 令x0∈0(x、8) Xk+1=Xk一 f(xk) f'(x)-f(x)f"(x) (1) f/(xx) 为一迭代公式。 在一定条件下，可以证明它产生一收敛于f(x)=0的解x。为此有下列引理： 引理3： 设p(x)是R→R的映射，满足：在0(xo、r)（r>0)内，|p(x)-p(x')I <0|x-x'|0<0<1且9(x)在0(x,)上连续并|x0-p(xo)|≤0(1-0)r 则，以xo为初始点由xn=P（x-1)得到的序列收敛于p(x)在R上的唯一的不动点。 证明：见〔2) 引理4： 设f(x)在R上三阶连续可微，在〔a、b)上满足如下条件： f(a)f(b)<0 f'(x)>0 女x∈〔a、b〕 f x) '(x)-2x) x=a+b≤0(1-0)b-a 2 且 3 f'(x) 2 1g(x)1=(x-fx)/(x)-t2)y1<0<1*xea,b) 则由迭代公式(1)，x0=a十b所产生的点列收敛到f(x）在〔a、b)的零点。 2 证明：由定理条件知3x∈〔a、b〕，f(x)=0。所以， p()=这里e(x)=x-()/(x)-f, 故x为甲的不动点。由引理3知，由 甲（x)=小0=，所得到的红}-+女10)=0。证毕。 关于收敛速度有， 引理5： 在引理4的条件下，由（1)所产生的序列{xn}收敛于x,f(x)=0,其收敛速度至少 为二阶的。 证明：xn+i-x=p(xn)-x=p'(ξn)(xn-x)ξn∈(xn、x) .|xn+1-x|=|p'(ξm)【Ixn-x| =1f5)f'5Cf'5f"5)+fE)f0E门-2f'(5)]2Cf”()]2L.|x,-x- 〔f'(em)2-f(ξm)f"(gn)〕2 111一 为 的 根的一近似点 。 ， 一 ， ， 令 。 任 笼 、 占 、 ， 、 一 ，’ 、 为一 迭 代公式 。 在 一定 条件下 ， 可 以证 明它 产生一 收敛 于 的解王 。 为此 有下列 引理 引理 设 甲 是 一 的映 射 ， 满足 在 。 。 、 内 ， 甲 一 ‘ 一 ‘ 且 甲 在万 又夏而 上连 续 并 。 一 甲 。 一 。 则 ， 以 。 为初始点由 。 甲 ， 得到 的序列收敛 于甲 二 在 上 的唯一 的不 动 点 。 证 明 见 〔 〕 引理 设 在 上三阶连 续 可 微 ， 在 〔 、 〕 上满足 如下 条件 · ‘ 分 任 〔 、 〕 一 ， 一 一 ， － 甲‘ 二 一 ‘ ’ ‘ ， ’ 产 ‘ ” ‘ 劫 〔 〔 、 〕 则 由迭 代公式 ， 。 所产生 的点列 收敛到 在 〔 、 〕 的零 点 。 证 明 由定 理 条件头 〔 〔 、 〕 ， 。 所 以 ， 甲 及 又 这里 甲 二 一 ， 。 一 工二 万 、 荟’ 之 气粤盖 卫 故又为甲的不 动 点 。 由引理 知 ， 由 甲 。 、 牛 所 得到 的 凌 。 证毕 。 关 于收敛速 度有 ， 引理 在 引理 的条 件下 ， 由 所产生 的序列 收敛 子又 ， 习 ， 其 收敛速 度至 少 为二 阶的 。 证 明 ’ ， 一 又 甲 一 及一 甲 ‘ 乙 。 一 分 七 。 〔 。 、 贾 十 ， 一 面 甲 ‘ 邑 ， 川 一 贾 二 息 ‘ 七 〔 ‘ 邑 “ 邑 十 邑 “ ‘ 邑 〕 一 〔 ‘ 是 〕 〔 “ 邑 、 〕 “ 〔 乙 一 邑 。 息 。 〕 一 －