一个方程求根公式及其推导

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.01.017 北京钢铁学院学报 第9卷，第1期 Journal of Beijing University Vol.9,No.1 1987年1月 of Iron and Steel Technology Jan.1987 一个方程求根公式及其推导 王运通 (数力系) 内容提要 本文利用分式线性函数在x。处近似〔(x)而导出一种求方程(x)一0的根的迭代公 式，它的变形包括Hay方法，在一定的条件下证明了二阶收敛性。 关键词：分式线性函数.遒近、泰勒展开.方程的解.二次收敛性 A Iterative Scheme for the SoLution of Nonlinear Equation Wang Yuntong Abstract Using fractional linear function (also called pseudolinear function to approximate a function f(x)at a specific point Xo,a iteration scheme for the solution of equation f(x)=0 is developed the varjant of the method includes the well-known Hally method.Under the appropriate condit- ion the quadratie convergence is proved. Key words:fractional linear function;approximation;the solution of equation,Taylor expansion:quadratic convergence 我们仅讨论一维情形，即f:R1→R1 引理1 设f(x)为0(0、8)(8>0)中的三阶连续可微函数，f'(0)+0,则在0(0、8) 中存在一个分式线性函数：1(x)=+吕，以0(x2)的精确度近似：(x)。 1986一05一02收稿 109

第 卷 ， 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 ， 了年 月 一个方程求根公式及其推导 王运通 数力系 内 容 提 要 本文利用分式线性 函数在 。 处近似 而导出一种求方程 。的根的迭代公 式 ， 它 的变形包括 方 法 ， 在一定的 条件下证明 了二阶收敛性 。 关键词 分式线性函数 逼近 泰勒展开 方程的解 二次收敛性 班 夕 。 ， 一 ， 我们 仅讨论 一维情 形 ， 引理 设 为 、 占 即 ， 占 中的三 阶连 续 可 微 函数 ， 产 笋 。 ， 则在 、 中存在一 个分式线 性 函数 干 以。 “ 的精 确度近 似 。 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．01．017

证明设f(x)=f(0)+'(0)x+号fr(0)x2+0(x2), ∈0(0、6)，取1(x)=8+日，在0点展开1(x): 1(x)日+dex+合(-骨）·ex40(x) 取名=f(0),e=f(0),-音de=fr(0), 则a=(f'(0)-f002)d f'(0) b=f (0).d e-8d d为自由项。以下不妨取d>0,则由上述系数所构造的分式线性函数即为所求。 引理2 设f(x)在O(x、6)（δ>0)中三阶连续可微，f'(x)半0，则存在分式线性函数 1(x)=.a(x-x)+b c(x-x)+d 其中 a=(f(x)-f()"())4,b=f(x)d,c=f(〉d,d>o任 f'(x) f(x) ·意，满足， f(x)-1(x)=0(|x-x|2),x∈0(x、δ) 证明由引理1即得。 我们知道分式线性函数是一非线性函数，但它有线性函数的特点，即它的根可以直接解 出。因此用它做为f(x)=0的近似方程以得到近似点是最合适的。由此考虑出发可得到 下面的结论： 设f(x)=0,f'(x)中0。因f(x)在x附近可以近似地写为 1(x)=a（x-x)+b c(x-x)+d 其中a、b、c、d为上面的形式。 由【(x)=0的根做为f(x)=0的根的近似， b (x)=0a(x-x)=-b x=x-a b三 f x) a f'（x)-f(x)”(x) F'(x) 110

证 明 设 笼 尸 十 上 “ 任 、 ， 取 “ 在 点展开 气 少 ‘ 一 二一 ， 一 一一砰一 了 上 了一 主 、 一 “ 取 ， 一 ， ， 一 护 、少 于 则 “ ‘ ” ’ ， 二 · ， ， 为 自由项 。 以下 不妨 取 。 ， 则由上述 系数所构造 的分式线 性函数 即为所求 。 引理 设 在 玄 、 占 占 中三 阶连 续 可微 ， ‘ 玄 笋 。 ， 则存在分式线 性函数 二 旦一茎 二兰互土互 一 其 中 ， ， ， 厂 、 · ’ 、 ， ，几 、 」 ， 。 二 ‘ 一 止匕、 全里二 找 生立止 二 ， ， 一 二一兰全立 ， 产 产 任 ， 意 ， 满 足 ， 一 一 “ ， 任 。 、 占 证 明 由引理 即 得 。 我们知道 分式线 性 函数是 一非 线 性 函数 ， 但它 有线 性 函数的特点 ， 即它的根可 以直接 解 出 。 因此 用 它 做 为 的近 似方程 以 得到近 似点是 最合适 的 。 由此考虑 出发可 得 到 下面 的结 论 设 ， ‘ 笋 。 。 因 在 附近 可 以近 似地写为 一 一 矛 、少一、产、 ‘了、‘、一 里 其 中 、 、 由 ‘ ’ 二 、 为上面 的形 式 。 的 根做 为 的 根的近 似 ， 心 一 一 ’ 一 下 一 ’ ‘ 二 一 一︸

.x=x-_ f (x) 为f(x)的根的一近似点。 f'(x)-f(x)f"(x) f'(x) 令x0∈0(x、8) Xk+1=Xk一 f(xk) f'(x)-f(x)f"(x) (1) f/(xx) 为一迭代公式。 在一定条件下，可以证明它产生一收敛于f(x)=0的解x。为此有下列引理： 引理3： 设p(x)是R→R的映射，满足：在0(xo、r)（r>0)内，|p(x)-p(x')I 0 女x∈〔a、b〕 f x) '(x)-2x) x=a+b≤0(1-0)b-a 2 且 3 f'(x) 2 1g(x)1=(x-fx)/(x)-t2)y1<0<1*xea,b) 则由迭代公式(1)，x0=a十b所产生的点列收敛到f(x）在〔a、b)的零点。 2 证明：由定理条件知3x∈〔a、b〕，f(x)=0。所以， p()=这里e(x)=x-()/(x)-f, 故x为甲的不动点。由引理3知，由 甲（x)=小0=，所得到的红}-+女10)=0。证毕。 关于收敛速度有， 引理5： 在引理4的条件下，由（1)所产生的序列{xn}收敛于x,f(x)=0,其收敛速度至少 为二阶的。 证明：xn+i-x=p(xn)-x=p'(ξn)(xn-x)ξn∈(xn、x) .|xn+1-x|=|p'(ξm)【Ixn-x| =1f5)f'5Cf'5f"5)+fE)f0E门-2f'(5)]2Cf”()]2L.|x,-x- 〔f'(em)2-f(ξm)f"(gn)〕2 111

一 为 的 根的一近似点 。 ， 一 ， ， 令 。 任 笼 、 占 、 ， 、 一 ，’ 、 为一 迭 代公式 。 在 一定 条件下 ， 可 以证 明它 产生一 收敛 于 的解王 。 为此 有下列 引理 引理 设 甲 是 一 的映 射 ， 满足 在 。 。 、 内 ， 甲 一 ‘ 一 ‘ 且 甲 在万 又夏而 上连 续 并 。 一 甲 。 一 。 则 ， 以 。 为初始点由 。 甲 ， 得到 的序列收敛 于甲 二 在 上 的唯一 的不 动 点 。 证 明 见 〔 〕 引理 设 在 上三阶连 续 可 微 ， 在 〔 、 〕 上满足 如下 条件 · ‘ 分 任 〔 、 〕 一 ， 一 一 ， － 甲‘ 二 一 ‘ ’ ‘ ， ’ 产 ‘ ” ‘ 劫 〔 〔 、 〕 则 由迭 代公式 ， 。 所产生 的点列 收敛到 在 〔 、 〕 的零 点 。 证 明 由定 理 条件头 〔 〔 、 〕 ， 。 所 以 ， 甲 及 又 这里 甲 二 一 ， 。 一 工二 万 、 荟’ 之 气粤盖 卫 故又为甲的不 动 点 。 由引理 知 ， 由 甲 。 、 牛 所 得到 的 凌 。 证毕 。 关 于收敛速 度有 ， 引理 在 引理 的条 件下 ， 由 所产生 的序列 收敛 子又 ， 习 ， 其 收敛速 度至 少 为二 阶的 。 证 明 ’ ， 一 又 甲 一 及一 甲 ‘ 乙 。 一 分 七 。 〔 。 、 贾 十 ， 一 面 甲 ‘ 邑 ， 川 一 贾 二 息 ‘ 七 〔 ‘ 邑 “ 邑 十 邑 “ ‘ 邑 〕 一 〔 ‘ 是 〕 〔 “ 邑 、 〕 “ 〔 乙 一 邑 。 息 。 〕 一 －

≤f'（m)f'(传)Cf'(Ef"(E)+fE)f"'(E)-2f(E)f"(f"E)21 〔f'(5)2-f(En)f”(En))z ·|xn-x|2 〔这里nn∈（ξn,x),f(凭n)=f(En)-f(x)=f'(nn)(ξn-x)〕- 取B=Sm.p1f'（n)f'(E)cf'(E)f”(5.)+fE)+f"'5)-2f(E)〔f"(5))21 〔f'(ξn)2-f(ξa)f"(ξm)〕2 则B有界(：f,f',f",f"连续；nn5n∈〔a、b〕，在〔a、b上有界) 且|xn+1-x|≤B|xa-x|2 故算法是二阶收敛的证毕 我们知道Hally方法的迭代公式为 Xn+1=Xn一 f(xn) f(x)-2 f(x)fu(x) (2) f(x) 与这里的迭代公式(1)仅仅在分母第二项上有一常数之差。如果取 f(x) Xn+I=Xn- (8) rx)-a a为任一非0正常数，则上式形成一算法类；当a=1时，恰好为此文所得之公式(1)， a=2时，为Hally公式（2)。又由〔3)可知Hally方法具有三阶收敛速率，可以设想这 里的方法(1)也应具有较好的收敛性。特别，当f”(x)a6, 则xn+i>N(xn+)。N(xn+)为Newton法所产生的点，故显然收敛比Newton法快些，因此 一般情况下可以获得较好的收敛速度。 参考文献 [1 Ostrowski.A.M.:Solution of Equations and Systems of Eguations, 2nd ed,Academic Press New York,1966 〔2)夏道行等编者：突变函数论与泛函分析（下册），人民教育出版社，1979.6.北 京。 〔3)郑士明，杭州大学学报，3(1982) 112

产 月 产 邑 。 〔 尹 七 〔 了 “ 毛 邑 “ ‘ 乙 〕 一 毛 亡 ， 护 毛 〕 “ 乙 一 邑 ， 邑 。 〕 。 一 〔 这里 。 〔 乙 ， ， 优 。 吃 。 一 二 产 切 毛 。 一 〕 ， 。 ” 】 ’ 月 ‘ 七 〔 ‘ 七 ， 是 七 。 ， ，’ ‘ 邑 一 邑 〔 ’ 七 。 〕 “ 取 。 刀 。 一‘ 比‘ 一退二止二气杀羚长 〔 产 乙 一 邑 ， 邑 〕 则 日有界 ’ ’ ， ‘ ， ’ ， ’ ， 连 续 刀 七 。 任 〔 、 〕 ， … 在 〔 、 上 有界 且 。 十 一 日 。 一 故算法 是二 阶 收敛的 证毕 我 们知 道 方法 的 迭 代公式 为 一 ， 一 产 。 与 这里 的迭 代 公式 仅仅在分每第二项 上有一 常数 之差 。 如果 取 一 一 。 ， 。 一 尹 为任一非 。 正 常数 ， 则上式形 成一算法 类 当 二 时 ， 恰好 为此文所 得 之 公 式 ， 时 ， 为 公式 。 又 由 〔 〕 可知 方法 具有三阶收敛速率 ， 可 以设想这 里 的 方法 也应具 有较好 的 收敛 性 。 特 别 ， 当 “ ， 〔 〔 、 〕 ， 若 则 。 ， 。 。 。 十 为 法 所产生 的 点 ， 故显 然 收敛 比 法 快 些 。 因此 一 般情 况下 可 以获 得较好 的收敛 速 度 。 参 考 文 献 〔 〕 ， ， 〔 〕 夏道行 等编 者 突 变函数 论与泛 函分析 下册 ， 人 民教育 出 版 社 ， 北 尔 。 〔 〕 郑 士 明 ， 杭州 大 学 学 报