第十一章多元函数微分学 F=F()是平面曲线: 记p=rX=Fx亦 则得 d drdr =,(×)==,×+P dt dt d山 =-f(r)×er=0 因此P是一个定常向量.且位置向量r()恒与定常向量P正交。 所以F()是平面向量,即行星轨道始终在通过太阳的一个平面上 向径r(1)相等的时间内扫过的面积相等 考虑向径r(1)扫过面积的速度设行星在时刻t和t+M的位置分 别是A=r(1)和B=r(1)+△F,则在1到t+M这段时间内向径r()扫 过的面积近似地等于‖×△r,因此f(1)扫过面积的速度就等于 ∥FxAF\1”d dr. 1 =‖p‖ △t 上面己经指出p是一个定常向量,因此r()扫过面积的速度就是一个常 数,这就是 Kepler第一定律 行星的运行轨道是一个椭圆 因为P=P×是一个定常向量,所以得 d(×p)=dt 注意到r=re,= dt 得y===r+e,所以 dtdt dt dr d e d =r×v=re,X(F 不难验证对于任意向量a,b,C,有 a×(b×c)=(a·c)b-(ab)c 由此可以推出 d kM kM v×D)=—×p= P =-kMe,×(e×=,) d e d e =-kM[(en·,)1-(et)] =kM 第十一章多元函数微分学第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 ⚫ r r (t)   = 是平面曲线： 记 dt dr p r v r      =  =  ，则得 ( ) ( ) 0 2 2 =  =  +  = − f r r  er = dt d r r dt dr dt dr dt dr r dt d dt dp          因此 → p 是一个定常向量. 且位置向量 → r(t) 恒与定常向量 → p 正交。 所以 r(t)  是平面向量,即行星轨道始终在通过太阳的一个平面上. ⚫ 向径 → r(t) 相等的时间内扫过的面积相等 考虑向径 r(t)  扫过面积的速度.设行星在时刻 t 和 t +t 的位置分 别是 A = → r(t) 和 B = → r(t) +  → r ，则在 t 到 t +t 这段时间内向径 → r(t) 扫 过的面积近似地等于 1 2 || || → → r  r ，因此 r(t)  扫过面积的速度就等于 || || 2 1 || || 2 1 || | 2 1 lim 0 p dt dr r t r r t      =  =    → 上面已经指出 p  是一个定常向量，因此 r(t)  扫过面积的速度就是一个常 数，这就是 Kepler 第一定律. ⚫ 行星的运行轨道是一个椭圆 因为 → → → p = r  d r dt 是一个定常向量，所以得 p dt dv v p dt d     (  ) =  ) 注意到 → → r = r er , → → v = d r dt ， 得 r r e dt dr dt de r dt dr v     = = + ，所以 dt de e r e dt dr dt de r v r e r dt dr p r r r r r r           =  =  =  + =  2 ( ) 不难验证对于任意向量 → → → a ,b,c, 有 a b c a c b a b c → → → → → → → → →  (  ) = (  ) − (  ) . 由此可以推出 dt d e k M dt de e e e dt de k M e dt de k M e e e p r k M r p r k M p dt dv v p dt d r r r r r r r r r r r                   = = −  −  = −    =  = −  =  [( ) ( ) ] ( ) ( ) 3 2