大值点 极小值f(B)=f(B3)=f(P5) 66 极大值∫(P2)=f(P)=f(P6) √6 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时,所有变量是独立的,但dx,d,d应满 足约束条件的微分在P的关系式: 2xdx+2ydy +2zd==0J dx+dy+d==0 因为 dL= ydx+ xcd+xyd=+2(xdx+ ydy + =d)+u(dx+dy+ds) d2L=2a(dx+dy2+d=2)+2xdyd:+2ydxd:+2=dxdy 在P点(a-2+=0即rd=0 dy+d=0 dx+d=0 12 又P满足稳定点方程 λ+μ=0得 2√6 +1=0 故d2L(F)=(d2+c2-4a)=(dx2+t2+4dx2)>0 所以P是极小值点。由x,y,z的对称性知,B3,B也是极小值点。同理可证,P,P,P是 极大值点 极小值f()=(P3)=f(p、二 6√6 极大值f(P2)=f(P4)=f(P) 例2将长度为/的铁丝分成三段,用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分 法,才能使这三个图形的面积之和最小。 解设x,y,二分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 66 大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但 dx, dy, dz 应满 足约束条件的微分在 Pi 的关系式： [ 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0 ] Pi | dx + dy + dz = 0 因为 dL = yzdx + xzdy + xydz + 2(xdx + ydy + zdz) + (dx + dy + dz) d L 2 (dx dy dz ) 2xdydz 2ydxdz 2zdxdy 2 2 2 2 =  + + + + + 在 P1 点 dx − 2dy + dz = 0 即 dy = 0 dx + dy + dz = 0 dx + dz = 0 又 P1 满足稳定点方程 0 6 2 3 1 − +  +  = 得 2 6 1  = 0 6 4 6 1 −  +  = 故 ( 4 ) 0 6 1 ( 4 ) 6 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 d L P = dx + dz − dxdz = dx + dz + dx  所以 P1 是极小值点。由 x, y,z 的对称性知， 3 5 P , P 也是极小值点。同理可证， 2 4 6 P ,P ,P 是 极大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 例 2 将长度为 l 的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分 法，才能使这三个图形的面积之和最小。 解 设 x, y,z 分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 2 2 2 4 3 s = x + y + z