第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一 85- 前提下确定波动的不同区制和持续时间. 3)从f八P,9S+)中抽取p8+),gg+) 1.4估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 4)运用多步移动的方法，从f(,|y,S+), 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 p,4,,o0,o）中抽取的w Nelson']提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计.吉布 5)从fo,4|$w,”,p,o)中抽 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 取+，+. 布的抽样方法，最早由文献[45]提出.吉布斯抽 6)从f代p|4+,2,39*),的+”，o) 样实际是对Metropolis抽样方法[6]的改进，并在 中抽取p+) 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等4)、Carter和Kohn],而Jacquier等9] 7）从fo,0,|+,41,3+),), 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上. p+)中抽取σ+》，og+. 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 上述抽样过程共进行M+W次，其中M次为 中将状态变量h,S,均视为待估的参数.记= 预烧(burn in sample),确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的N次抽样计算得到. (y1,…y)',=(h,…,h)',S=(S1,…, S)',0=(p,9,P山1山，0。，0n)'为模型原有参数 2 模拟结果 这样，新的参数空间变为w=(,S,)'.根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， f(h,S,01y) 进行了如下的模拟.由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 f(yl h,S,0)f(hI s,0)f(SI 0)f(0) 朗运动来生成日内的价格序列 (11) 5,ia=5,(-1)a+06uV△ (14) 其中 logo,=(1-p),+plog(o-1）+Bee√历 (15) 0,l,3,0)=fGli,0)=Πxlh,) 其中T表示天数；N表示日内价格观测数，tW< i≤(t+1)W,t=1,…,T:H=1/257是年度化时间区 2a2 间；A=H/N是日内价格变动的时间区间；8和e (12) 是标准正态的扰动项.在模拟中，假设中=0.9， 山1=-12=-1.5，对应波动率的高状态和低状 fir|3r,0)=Πxlh,S,0) 态同时，p=0.99,9=0.97,N=1000,B=0.75, h-,-ph)2 T=1000.根据上述设定，可以计算得到o,= 22 0.0468,0。=0.29.根据对数极差的分布，其均值为 0.43+0.5logH+logg,因此为与log,对应，极差 (13) 应减去0.43+0.5logH得到调整后极差.本文均进 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到 1)给出初始值.？={h9}I1和0的初始值 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 0P=(po,g,p,40,o0,0)',其中 次模拟，得到每个参数的分布.为了近似反映多次 S,的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 2)运用多步移动的方法，从f(Sn|,p，, 验均值求均值，标准差及95%的区间.从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 q0,p,,,σ)中成块抽取S+). 实值非常接近，均值的标准差普遍较小.同时，真 万方数据第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一85一 前提下确定波动的不同区制和持续时间． 1．4 估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 Nelson惮1提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计．吉布 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 布的抽样方法，最早由文献[45]提出．吉布斯抽 样实际是对Metropolis抽样方法Ⅲ1的改进，并在 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等‘471、Carter和Kohn‘删，而Jacquier等‘491 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上． 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 中将状态变量h。，S。均视为待估的参数．记觅= (Y1’．．．，Y。)’，I。t,=(h，，…，h。)’，墨=(S1，．一， S。)7，秒II-(P,q，qo,it，牝，盯。，盯。)7为模型原有参数 这样，新的参数空间变为∞=(群，霹，口，’．根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 以薪，薪，p I薪)oc 以薪I薪，霹，p状薪I霹，p状薪I口狄p) (11) 其中 八薪I薪，薪，p)钒薪I薪，口)=I-If(y,I h。，口) =鱼瓦1t =l^／Zffi'O"唧(一譬) 、 坷． ， (12) r 以薪I薪，口)=Hf(y。I h。，S。，口) I=1 =珥T去唧(_ 2盯： (13) 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 1)给出初始值．群={h?}乙。和口的初始值 oo=(P‘0’，q∞’，妒∞’，pf们，正∞，盯：们，盯?’)’，其中 薪的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0． 2)运用多步移动的方法，从以薪I砰’，P咕’， q‘引，妒‘引，肛：引，p{引，盯，’)中成块抽取鼯“’． 3)从以p，q l鼢+1’)中抽取p‘纠’，q‘州’． 4)运用多步移动的方法，从火薪I薪，砰“’， 9‘引，肛}引，肛i引，盯≯’，盯≯’)中抽取砰“’． 5)从f(vo，tJ，I鼯“’，砰“’，9瞻’，盯≯’)中抽 取肛}g+l’，p{g+1’． 6)从以9 p：s“’，从s+2’，砰“’，砰+1’，盯≯’) 中抽取妒‘8“’． 7)从八盯。，or。l肛：s“’，肛i8“’，鼯“’，砰“’， 妒幢“’)中抽取盯≯+1’，盯≯“’． 上述抽样过程共进行M+Ⅳ次，其中肘次为 预烧(burn in sample)，确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的Ⅳ次抽样计算得到． 2 模拟结果 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， 进行了如下的模拟．由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 朗运动来生成日内的价格序列 s叫A=sI，(H)△+盯l占“仫 (14) log吼=(1-‘o)its．+自olog(tr。一1)恤。√日(15) 其中r表示天数；Ⅳ表示日内价格观测数，tN< i≤(t+1)Ⅳ，t=1，…，T；H=1／257是年度化时间区 间；△=H／N是日内价格变动的时间区间；8。和气 是标准正态的扰动项．在模拟中，假设9=0．9， p，=一1，心=一1．5，对应波动率的高状态和低状 态同时，P=0．99，q=0．97，N=1 000，卢=0．75， T=1 00．根据上述设定，可以计算得到％= 0．046 8，盯。=0．29．根据对数极差的分布，其均值为 0．43+0．5 log日+logO"t，因此为与log吼对应，极差 应减去o．43+0．5 log H得到调整后极差．本文均进 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到． 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 次模拟，得到每个参数的分布．为了近似反映多次 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 验均值求均值，标准差及95％的区间．从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 实值非常接近，均值的标准差普遍较小．同时，真 万方数据