-84 管理科学学报 2013年9月 logr子=h,+点 (4) 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变.特别 其中：=1ge.式(2)和式(4)构成了状态空间 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程.在 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 假设6，服从标准正态分布的前提下，5：服从自由 况交替出现的情形.特别地，在市场处于剧烈波动 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 度、峰度分别为1.11、-1.53、6.93，与正态分布 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 的差别是比较大的.在正态假设下，Harvey等] 动率的水平可能存在结构变化.剧烈波动和相对 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等9]指出 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 态分布组成的混合分布对：的分布进行逼近的 突变刻画方法.本文引人马尔科夫区制转移的方法 MCMC方法，随后Chib等[o]以及Omori等[41)提 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 出了其他的MCMC算法. h,=s,（1-p)+ph-l+0nn (7) 1.2基于极差的随机波动率模型 令".=3，(1-p),式(7)可以表示为 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， h:=vs +phi-1 +onn (8) :的分布的非正态性给模型的估计造成困难.当 其中，状态变量S,有M个不同的取值，代表波动 采用极差作为波动率代理变量时，Feller'2】证明 率的长期水平处在不同的状态.假设S,服从一阶 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 马氏过程，转移概率矩阵如下 极差的标准差、偏度和峰度分别为0.29,0.17和 [P1 P12 PIM 2.80,与标准正态是较为接近的. P=[Py] p21p22 P2M (9 利用这一性质，Alizadeh等s]提出了基于极 差的随机波动率模型 PMM y,=h,+e, (5) 其中p:=Pr[S,=j引S1=]表示从状态S-1= h:=u+(h1-u)+om (6) 其中y,=log(1ogH-logL)表示对数极差；h,= :转移到3，=)的概率，并满足之，=L这祥， logo:表示对数波动率；H,和L,代表某一时段内 4s,=S:+…+uwSM,其中S.为哑变量，表示当 的最高价和最低价.此外，令v=(1-p)μ，式(6) 且仅当S,=j时S。=1.与Sun)等类似，本文中 可以等价地写为h=v+ph-1+on其中，由于 进一步假定M=2,则S.=1和，=2分别表示 &,是近似正态的，Alizadeh等1s)利用拟极大似然 市场处于高波动状态和低波动状态.此时，转移概 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 率矩阵简化为 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 P=P 1-P1 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 (10) 1-g9 代理变量的随机波动率方法.同时，他们的模拟研 其中p和q分别表示波动率保持在高或低水平的 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 概率.这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 率的估计也更为准确.该模型充分利用了极差的 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化.在 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 SV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 So等[2]和Sun]的工作，而本文将这种做法延 进了对参数的估计和波动率的提取 伸到了基于极差的随机波动率模型中.这样，本文 1.3基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 模型 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 万方数据．--——84．--—— 管理科学学报 2013年9月 log r；=h。+亭。 (4) 其中￡=log B2．式(2)和式(4)构成了状态空间 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程．在 假设8。服从标准正态分布的前提下，￡服从自由 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 度、峰度分别为1．11、一1．53、6．93，与正态分布 的差别是比较大的．在正态假设下，Harvey等[38] 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等∞引指出 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 态分布组成的混合分布对孝。的分布进行逼近的 MCMC方法，随后Chib等㈤1以及Omori等H¨提 出了其他的MCMC算法． 1．2 基于极差的随机波动率模型 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， ￡的分布的非正态性给模型的估计造成困难．当 采用极差作为波动率代理变量时，FellerM21证明 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 极差的标准差、偏度和峰度分别为0．29，0．17和 2．80，与标准正态是较为接近的． 利用这一性质，Alizadeh等¨纠提出了基于极 差的随机波动率模型 Y。=h；+占。 (5) h。=／．t+妒(h，l一肛)+or。叼。 (6) 其中Y。=log(109H,一logL。)表示对数极差；^。= log盯。表示对数波动率；皿和￡。代表某一时段内 的最高价和最低价．此外，令秽=(1一妒)肛，式(6) 可以等价地写为h。=秽+础¨+盯。7／。．其中，由于 s。是近似正态的，Alizadeh等u副利用拟极大似然 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 代理变量的随机波动率方法．同时，他们的模拟研 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 率的估计也更为准确．该模型充分利用了极差的 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 进了对参数的估计和波动率的提取． 1．3 基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 模型 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变．特别 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 况交替出现的情形．特别地，在市场处于剧烈波动 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 动率的水平可能存在结构变化．剧烈波动和相对 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 突变刻画方法本文引入马尔科夫区制转移的方法 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 h。=／xs。(1一妒)十妒^卜1+盯田叼。 (7) 令秽。．=p。．(1—9)，式(7)可以表示为 h‘=秽s；+9^t一1+盯叼叼l (8) 其中，状态变量|s。有M个不同的取值，代表波动 率的长期水平处在不同的状态。假设s。服从一阶 马氏过程，转移概率矩阵如下 P=[P“]= P11 P12 p21 p22 pMt pm (9) 其中p。=Pr[S。=_『l S¨=i]表示从状态SH= 村 i转移到S。=歹的概率，并满足∑P#=1．这样， ps=肛1S1。+…+肛_】lf．s胁，其中JsA为哑变量，表示当 且仅当S。=J时．s。=1．与Sun【4纠等类似，本文中 进一步假定M=2，则S。=1和S，=2分别表示 市场处于高波动状态和低波动状态．此时，转移概 率矩阵简化为 P：『 p 1一p1 (10) o 1一q q 1 其中P和g分别表示波动率保持在高或低水平的 概率．这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化．在 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 sV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 So等旧2 o和SunM列的工作，而本文将这种做法延 伸到了基于极差的随机波动率模型中．这样，本文 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 村 村 胁胁；‰咐 ● ● ● ● 万方数据