《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 由渐近线定义，当x→+∞（对x→-∞时也有相应结果）时，|PN→0，从而 lim[f(x)-k(x+6)]=0 (*) 或 lim(f(x)-kx)=b (1) 而 恤-==-0. (*) 海 m国-k X (2) 从而如有斜渐近线y=:+b则其中的k、b可由(1)，(2)求得.反之，如由(1)，(2)求得k、 b,再由（◆）、(*)式知PW→0，从而所得的y=c+b确为曲线y=f)之渐近线因此，求曲 线y=()的斜渐近线就化为求式(1)、(2)的极限了. 例求曲线'+2r可的渐近线 f(x) 解言r+2-3x引(x→四， 故设k=1,有 )=+2x-3x→-2x→四） 故得b=-2,从而求得曲线的渐近线方程为y=-2 2、若曲线”=儿)在点七存在垂直于x轴的渐近线，则有皿/)=”或四)=∞ lim f(x)=0 这时曲线的渐近线方程为=，称它为垂直渐近线。 如上例中，由于》=F+2x-x+3-可，故当x→3，x→1时皆有y→的，所以曲线有 垂直渐近线x=-3,x=1. 如图：《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 2 由渐近线定义,当 x → + （对 x →− 时也有相应结果）时, | | 0 PN → ,从而 lim [ ( ) ( )] 0 x f x k x b →+ − + = （*） 或 lim ( ( ) ) x f x kx b →+ − = （1） 而 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 x x f x f x kx k →+ →+ x x − − = = , （**） 故 ( ) lim x f x k →+ x = . （2） 从而如有斜渐近线 y kx b = + 则其中的 k 、b 可由（1）,（2）求得.反之,如由（1）,（2）求得 k 、 b ,再由（*）、（**）式知 | | 0 PN → .从而所得的 y kx b = + 确为曲线 y f x = ( ) 之渐近线.因此,求曲 线 y f x = ( ) 的斜渐近线就化为求式（1）、（2）的极限了. 例 求曲线 3 2 2 3 x y x x = + − 的渐近线. 解 3 3 2 ( ) 1 2 3 f x x x x x x = → + − ( ) x →  ， 故设 k =1,有 3 2 ( ) 2 2 3 x f x kx x x x − = − → − + − ( ) x →  故得 b =−2.从而求得曲线的渐近线方程为 y x = − 2 2、若曲线 y f x = ( ) 在点 0 x 存在垂直于 x 轴的渐近线,则有 0 lim ( ) x x f x → =  或 0 lim ( ) x x f x → + =  0 lim ( ) x x f x → − =  .这时曲线的渐近线方程为 0 x x = ,称它为垂直渐近线. 如上例中,由于 3 3 2 2 3 ( 3)( 1) x x y x x x x = = + − + − ,故当 x →−3, x →1 时皆有 y → ,所以曲线有 垂直渐近线 x =−3, x =1. 如图：