(x0)或U(x0,3)→U(x)或U(xo,8) 须将那里的 1<8→|x-x。l< 条件“x≠x0”去掉 定理4-2(局部有界性)若函数∫在点x。连续,则∫在某U(x)内有界 定理4-3(局部保号性)若函数∫在点x连续,且f(x)0. 则对￥r 都彐某U(x0),使对x∈U(x)有 f(x)>r≥ f(x6)<r≤0, f(x)<r≤0 (特别地,若∫(x)在x连续,(x0)≠0,则彐某U(x)使当x∈U(x)时∫(x)·f(x)>0,即f(x) 与∫(x)同号) 定理4-4(四则运算法则)若函数f和g都在点x连续,则 (i)∫士g及∫·g也在点x连续 i)当g(x0)≠0时,也在点x连续 例1(1)∵y=C和y=x在R上连续→y=ax在R上连续(∈N+)→多项式函数P(x) ax”+a,-1x1+…+a1x+a在R上连续→有理函数R(x) (x),Q(x)均为多项式)在 其定义域的每一点均连续 (2)三角函数 y =sIn,4,y=cosr在R上连续(见P44例4),进而tgx,ctgr在其定义域内连续(三角 函数在其定义域内连续) (3)同上可知f(x)=rnx+x2-4在(-∞,-2)U(-22)U(2,+∞)内连续 例2如f(x)在点x连续,则|f(r)|在点x连续(∵limf(r)l=|f(x).)设∫(x),g(x) 在点x连续则max{/(x),g(x)}=f()+g(x)+1f(x)-(x)在点x点也连续.(ch4§23) 特别地,f(x)的正部函数f(x)=mar(/(x),0}=(x)+()在x点也连续 例3设f(x)在(a,b)内连续,且对r∈(a,b)∩Q,f()=0,则对yr∈(a,b),也有f(x)= 注1°例3中的条件“f(r)=0,r∈Q”换成“f()=A,r∈Q”也可推出Ⅴx∈(a,b)有f(x) A.另外(a,b)换成其它类型的区间,结论也成立 2°证明的方法具有一般性这表明连续函数在Q(或R的某稠密子集)上的一些性质可传导到R 上 忆:复合函数的极限运算法则: 若① limp(r)=A(A有限);②limf(u)=B(有限);③当x∈某U(x)时px)≠A As limf((x))=B=limf(u) 若①limy(r)=∞;②limf()=B(有限),则limf(gx))=B=limf(a) 定理4一5(复合函数的连续性)设f(x)在x连续,M=f(x),g(a)在连续,则g(f(x))在