P(x) x>0,a>0,则似然函数为 2丌x uxn lLAd)=-2m2-mlmg-∑m-∑mx-y 似然方程为lmL(口2)1 aIn L(u,o +1∑mx-)2=0.解似然方程 得最大似然估计为乒=∑mX,G=∑mx-l。 6.设总体X的分布密度为 x≥6 p(x)= 0, (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数6的最大似然估计。 解:设(X1,X2,…,Xn)的观测值为(x1,x2,…,xn),由似然函数的表达式, x1=6) 当6smin{x…,x1}时,L()=e 当>min{x…,xn}时,L(6)=0 因此当6=X12=mn{x,…,Xx2}时,L()取得最大值,即6的最大似然 估计为6=Xa=min{X,…,xn} 8.设6和O2都是参数日的两个独立的无偏估计量,且D6=2DB2,试求常数a和B 使a日+β62是O的无偏估计,且在形如a6+B2的无偏估计中方差最 解:由题知 E(a61+B02)=aE61+BE62=(a+B)6=0 即a+B=1又 D(aa1+B2)=a2D1+B2DB2=(2a2+B2)D2 =(3ax2-2a+1)DO2 2 所以当a=3,B=3时上式取得最小值 9.设总体X的分布密度为 「6x P(x)=63 (6-x),0<x<6 其它2 2 1 (ln ) ( ) exp , 0, 0 2 2 x p x x x µ σ πσ σ ⎧ ⎫ − = −⎨ ⎬ > ⎩ ⎭ > ,则似然函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < = 0, 其它 ( ), 0 6 ( ) 3 θ θ θ x x x p x 2 2 2 1 1 1 ln ( , ) ln(2 ) ln ln (ln ) 2 2 n n i i i i n L n µ σ π σ x x = = σ = − − −∑ ∑ − − µ 似然方程为 2 2 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 n i i L x µ σ µ µ σ = ∂ = − ∂ ∑ = 2 2 2 2 4 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 2 2 n i i L n x µ σ µ σ σ σ = ∂ = − + − = ∂ ∑ ,解似然方程， 得最大似然估计为 1 1 ln n i i X n µ =  = ∑ ， 2 2 1 1 (ln ) n i i X n σ µ =   = − ∑ 。 6．设总体 X 的分布密度为 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − − θ θ θ x e x p x x 0, , ( ) ( ) ( , , , ) X1 X2 " Xn 是来自总体 X 的一个样本，试求参数θ 的最大似然估计。 解：设 1 2 ( , , , n X X " X ) 的观测值为( , x x 1 2 ,", xn ) ，由似然函数的表达式， 当θ ≤ min{ } x1 ,…, xn 时， 1 ( ) ( ) n i i x L e θ θ = −∑ − = ； 当 min{ } 1 , , n θ > x … x 时, L( ) θ = 0 。 因此当θ  = = X(1) min{X1 ,…, Xn} 时， L(θ)取得最大值，即θ 的最大似然 估计为θ  = = X(1) min{ } X1 ,…, Xn 。 8．设θ ˆ 1 和 2 都是参数 ˆθ θ 的两个独立的无偏估计量，且 Dθ ˆ 1 = 2Dθ ˆ 2 ，试求常数α 和 β ， 使 1 2 是 ˆ ˆ αθ + βθ θ 的无偏估计，且在形如αθ ˆ 1 + βθ ˆ 2 的无偏估计中方差最小。 解：由题知 1 2 1 2 E E ( ) αθ β + = θ α θ β + Eθ = (α + β )θ =     θ 即 α + β = 1 又 2 2 2 2 1 2 1 2 D D ( ) D (2 ) α D 2 θ β + = θ α θ β + θ = α + β θ      2 2 = − (3α 2α θ + 1)D  ； 所以当 1 , 3 α = 2 3 β = 时上式取得最小值。 9．设总体 X 的分布密度为 7