X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,试求σ的矩估计和最大似然估计。 解(1)EX=0,而EN,9 所以a的矩估计为a=∑X (2)似然函数为L(a)=()"ea, In l(o)=-nIn 2o 对应的似然方程为 d-2+2=0 所以Gg=∑x 4.设总体X的分布密度为 P(x) 64<x<+∞,62,>0 62 (X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本,试求日和2的矩估计。 解:EX=4 x de -a1 te e (+a)"t =2+2002+202 DX=EX2-(EX)2=B2,62=Sn2, a2=Sn,所以日=X一Sn 5.设总体服从对数正态分布,其分布密度为 X-l P(r) x>0,>0 2丌cx (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数和a2的最大似然估计 解:总体X的分布密度为 L(,G) ()”eX X Xn , , , 1 2 " 是来自总体 X 的样本，试求σ 的矩估计和最大似然估计。 [解]（1） EX = 0 ，而 1 2 x E X x e dx σ σ σ +∞ − −∞ = = ∫ 所以σ 的矩估计为 1 1 ˆ n i i X n σ = = ∑ （2）似然函数为 1 1 ( ) ( ) 2 n i i x n L e σ σ σ = −∑ = ， 1 ln ( ) ln 2 n i i x L n σ σ = σ = − −∑ 对应的似然方程为 2 1 ln ( ) 1 0 n i i L n x σ σ σ σ = ∂ = − + = ∂ ∑ ； 所以 1 1 ˆ n MLE i i X n σ = = ∑ 4．设总体 X 的分布密度为 , , 0 1 ( ) 1 2 2 2 1 = < < +∞ > − − θ θ θ θ θ p x e x x ( , , , ) X1 X2 " Xn 为来自总体 X 的样本，试求θ 1 和θ 2 的矩估计。 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x EX e dx de θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − +∞ − − +∞ = = − ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 1 x x xe e dx θ θ θ θ θ θ 2 θ θ − − − − +∞ +∞ = − + = + ∫ 1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 2 x t x t EX e dx e θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − +∞ − − +∞ + = = = + + ∫ ∫ dt 2 DX EX ( ) EX 2 2 2 = − = θ ，θ  2 2 2 = Sn ， 2 Sn θ =  ，所以 1 X Sn θ = −  5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为 (X1 , X2 ,", Xn ) 是来自总体 X 的一个样本，试求参数 µ 和σ2的最大似然估计。 , 0, 0 2 (ln ) exp 2 1 ( ) 2 2 > > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − σ π σ σ x x u x p x 解：总体 X 的分布密度为 2 2 2 2 1 (ln ) (ln ) 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) 2 2 n i i i x x n n n i i i i L e e x x µ µ σ σ µ σ πσ πσ = − − − − = = ∑ = = ∏ ∏ 6