2014-06-18 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 对能量信号,着 称E2(a为x1(0和x2(0的互能量谱,简称互谱 Hx()]=X1(O),Hx2()=X2(o,FR12()=E12(o) 推论:FR()=X(o)X(m)=E,(O) →E2(o)=X1(O)X2(O) 维纳辛钦定理 函数的傅里叶变换为信号的能量谱 R2()=x(0x(-M=上x(C 对功率信号,类似地有 C(01x(okm-a=1x(o)广x0)he"如 功率信号x1(0)和x2(的互相关函数的傅里叶变换P2(a 称为功率信号x1(和x2(的互功率谱,也简称互谱 sLxi(e).x,(e)el"de F[R2()=B2( E2(o)=HR2(r)=X1(a)x2(a) 维纳辛钦定理 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 R1(r)≤R(0)=Ex 能量信号自相关函数在τ=0时有最大值,最大值为信号的能量 FIR ( r)=P(o) 互相关函数在r=0时不一定有最大值 2、相关函数的最大值 对能量信号 R2(0)=L x,(r o t=LX, (o).x;(oje lord. don 根据许瓦兹不等式 称R2(0为信号x1(0和x:0的交叉能量 nx()=ax2(n),a为实常数,等号成立 对功率信号,类似地有 ()-x0x-M[xora!x(-r-Ep=E R(r)≤R2(0)=P 功率信号自相关函数在r=0时有最大值,最大值为信号的功率 互相关函数在r=0时不一定有最大值 当x(0)为实信号时,R(是实函数 R2(0)=P(o)do R(r)=r(r)= R(r)=R(r) 实信号的自相关函数是r的偶函数 R12(0)为信号x1(0)和x2(D的交叉功率 对于互相关函数,有 3、共轭对称性 R2(r)=R21(-r) 信号自相关函数具有共轭对称性 仍以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 证:-[+j 令:t=t-r→dt=dh R-)-x(-)x)M-xx(-)=Rr) E(-)=x(r-r)xr=x1(nx2(t-r)d=R2(r) 502014-06-18 4 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 ( ) ( ) ( ) F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ) * 12 1 2 1 1 2 2 12 12        E X X x t X x t X R E       对能量信号，若 证： 50 19 ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) * 12 12 1 2 1 * 2 1 * 2 * ( ) 1 2 * ( ) 1 2 * 12 1 2                           E R X X X X e d x t X e d dt X x t e dt e d R x t x t dt x t X e d dt j j t j t j j t                                            E12()具有能量谱的量纲 推论： F[ ( )] ( ) ( ) ( ) * Rx   X  X   Ex  称E12()为x1(t)和x2(t)的互能量谱，简称互谱 维纳-辛钦定理： 能量信号自相关函数的傅里叶变换为信号的能量谱 50 20  对功率信号，类似地有： 功率信号x1(t)和x2(t)的互相关函数的傅里叶变换P12() 称为功率信号x1(t)和x2(t)的互功率谱，也简称互谱 F[ ( )] ( ) R12   P12  维纳-辛钦定理： 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 F[ ( )] () Rx  Px 2、相关函数的最大值  对能量信号 50 21 Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 (0) ( ) ( ) | ( )| | ( )| [ ] x t ax t a为实常数， 等号成立 x t x t dt x t dt x t dt when ( ) ( ), | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | * 1 2 2 2 2 1 2 1 2            根据许瓦兹不等式： Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                  1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 ( ) ( ) (  ) | ( )| | (  )| [ ] 能量信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的能量                    R x t x t dt X X e d j 1 1 ( ) ( ) 2 1 (0) ( ) ( ) * 0 * 1 2 * 12 1 2  Rx  Rx  Ex ( ) (0) 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 50 22                X X d E ( )d 2 1 ( ) ( ) 2 1 12 * 1 2 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉能量 Rx  Rx  Px ( ) (0)  对功率信号，类似地有： 功率信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的功率        R P ( )d 2 1 (0) 12 12 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉功率 信号自相关函数具有共轭对称性 3、共轭对称性 50 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * *     x Rx  R   x t  x t dt  x t x t  dt                    R   x t x t  dt x t x t dt x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * *    以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立 证： 令： t  t  dt  dt ( ) ( ) *    Rx Rx ( ) ( ) ( ) ( ) * R   R   R   R  当x(t)为实信号时，Rx()是实函数 实信号的自相关函数是 的偶函数 对于互相关函数，有： ( ) ( ) * 12 21 R   R  仍以能量信号为例来证明 结论对功率信号也成立 50 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 * 1 1 2 * 2 * 21  R   x t  x t dt  x t x t  dt  R                    R ( )  x (t)x (t  )dt x (t)x (t )dt 1 * 2 * * 2 1 * 21 证：    令： t  t  dt  dt 仍以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立