数学中国论文共享 因为变换矩阵M为3×4矩阵,可设 a2a23a24 a2a33a34 所以圆周上任意一点(Xn,Yn,Zn),经坐标变换矩阵M变换后得到像在像坐 标系的坐标 0 I aa 有 u= au (7) a,Xw+a2Y +a, 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程 a(ul )-a1,(V-a 12-a21q12 从上式不能很显然的发现什么性质,所以我们将其展开: (a212+a22+(a12+a12)y2-2(a1a21+a2a2)-[2a1(a2+a2)+a24(a1a21+a12a2) -2{a24(a12+a12)+a14(a1a21+a12a2)+[(a2+a2)a42+(a12+a12)a242-2(a1a1+ a12a2)a4a24-(a12a21-a2a1)2r2]=0.(8) 简化上式为 k1+ky+k1+k2+k3y2+kn2=0. 可见这是一个一般二次曲线方程,故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中k至k分别为上式的系数。观察(8)式可以发 现这个重要信息:4v都是a1a2和n2、v2、w的系数组成,而a、a24正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为: k1-(2a2k3+a1k4)-(2a1k+a2k4+k+kv2+k2=0.…0) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标,由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心,故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0),根据(7)式,在像坐 标系的像坐标的坐标为8 因为变换矩阵 M 为 3×4 矩阵，可设 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a M a a a a a a a a é ù ê ú = ë û 所以圆周上任意一点( , , ) XW Y Z W W ，经坐标变换矩阵 M 变换后得到像在像坐 标系的坐标: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 ..............(6) 0 0 1 1 1 W W W W X X u a a a a Y Y v M a a a a a a a a é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë ûê ú ë û ë û 有： 11 12 14 21 22 24 ...................(7) W W W W u a X a Y a v a X a Y a ì = + + í = + + î 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程： 2 2 22 14 12 24 12 14 11 24 2 11 22 21 12 12 21 22 11 a (u a ) a (v a ) a (u a ) a ( ) v a r a a a a a a a a é - - - ù é ù - - - + = ê ú ê ú ë - - û ë û 从上式不能很显然的发现什么性质，所以我们将其展开： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 22 11 12 11 21 12 22 14 21 22 24 11 21 12 22 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 12 14 11 21 12 22 21 22 14 11 12 24 11 21 2 2 12 22 14 24 12 21 22 11 ( ) ( ) 2( ) [2 ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] [( ) ( ) 2( ) ( ) ] 0 a a u a a v a a a a uv a a a a a a a a u a a a a a a a a v a a a a a a a a a a a a a a a a r + + + - + - + + + - + + + + + + + - + - - = ......(8) 简化上式为： 2 2 1 2 3 4 5 6 k + k v + k u + k uv + k v + = k u 0..........................(9) 可见这是一个一般二次曲线方程，故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中 1 k 至 6 k 分别为上式的系数。观察（8）式可以发 现这个重要信息：u v 、 都是 14 24 a a 、 和 2 2 u 、 、v uv 的系数组成，而 14 24 a a 、 正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为： 2 2 1 24 5 14 4 14 6 24 4 4 5 6 k - (2a k + a k )v - (2a k + a k )u + k uv + k v + = k u 0.......(10) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标，由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心，故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0) ，根据（7）式，在像坐 标系的像坐标的坐标为： 14 24 o o u a v a ì = í = î 数学中国论文共享 www.madio.cn