由另一端为铰支和扭簧约束梁〔2)、以及一端自由另一端为拉压弹簧和扭转弹簧联合作用的 悬壁梁〔8)等等。本文研究如图1所示梁的模型。它概括了上述各种梁以及目前还没有讨论到 的一些梁的模型。 1公式推导 如图1所示的弹性约束梁，其各符号的含意是： EI一梁的抗弯强度； A一截面积， p—一梁的质量密度： 1一梁长： K1,K2,K3,K4分别为各个拉压弹簧和扭转弹箦的刚度系数。 设梁的挠度为y(x,),它应该满足振动方程 ETay/ax+pAa2y/3t2=0 (1) 以及下述4个边界条件： EJasy(0,t)/ax3=-Ky(0,) (2) EIay(0,t)/ax2=K2ay(0,1)/ax (3) EIasy(I,t)/axa=K3y(l,) (4) ETay(1,t)/px2=-Kay(1,t)/ax (5) 引入函数： 1(x)=shx+sinx,2(x)=chx+cosx (6) 3(x)=shx-sinx,p(x)=chx-cosx 容易看它们1有如下性质： p{(x)=p1+1(x)i=1,2,3p4(x)=p1(x) P1(0)=g3(0)=p4(0)=0,p2(0)=2 设 y(,)=Cip(kx)+C22(kx)+C3o3(kx)+Cig(kx)) (acoswt+bsinwf) (7) 其中”为固有频率，4，b为常数。显然它满足振动微分方程式(1)且， k*=w品pA/(EI) (8) 把(7)分别代入边界条件(2)，(3)，(4)，(5j并记， S1=K1I3/(EI),S2=K21/(EI) (9) Sg=K313/(EI),S4=K4/(EI) 2m1 (10) 经整理后，这些方程分别变成： 400由另一 端为铰 支和扭簧约 束梁 〔 2 〕 、 以 及一端 自由另 一端 为拉 压弹簧和扭转弹簧联合作 用 的 悬 壁梁 〔 ” ’ 等等 。 本文研究如图 1 所示梁 的模型 。 它概括了上 述各种梁以 及 目前还没有讨 论 到 的一些梁 的模 型 。 1 公 式 推 导 如图 1 所示 的弹性约束梁 , 其各符号的含意是 : E l — 梁 的抗弯强度 , A — 截 面积 ; P — 梁 的质量密度; l — 梁长 , K ; , K : , K 3 , K ; 分别 为各个拉压弹簧和扭 转弹簧的刚 度系数 。 设 梁 的挠度 为 y x( , t ) , 它 应 该满足振 动方程 E l a 夕 / a x 4 + 夕A a Z夕 / a t Z 二 0 以 及下述 4 个 边界 条件 : E l a ” 少 ( 0 , t ) / a x ” = 一 K : 少 ( 0 , t ) E I 3 2 夕 ( 0 , t ) / a x Z 二 K : a y ( 0 , t ) / a x E l a “ y ( [ , t ) / 刁x “ = K , y ( l , t ) E 力 2 夕 ( I , t ) / p x Z = 一 K ; a 夕 ( I , t ) / a x 引入函数 : 切 : ( 劣 ) = s h x + s i n x , 沪 : (二 ) = e h 劣 + e o s x 切 3 ( 劣 ) = s h x 一 s i n x , 尹 ; ( 二 ) = e h 戈 一 e o s x 容易看 坐它 们有如 下性质 : 甲 犷( 二 ) = 甲 ; 十 1 ( x ) f = 1 , 2 , 3 切 二( 二 ) = 切 、 (二 ) 甲 、 ( 0 ) = 犷 3 ( 0 ) = 华 4 ( 0 ) 二 0 , 中 : ( 0 ) = 2 设 。 , ( , ` , t ) = { C 、 笋 , ( 寿x ) + C : 切: ( 舟` ) + C 3 卿 3 ( 花x ) + C ; 华 ; ( k “ ) } · ( a e o s 切 t + 6 s i n 即 t ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 其 中 , 为固有频率 , Q , b 为常数 。 显 然它满足 振 动微分 方程式 ( l) 且 , 儿弓 = 。 念 P A / ( E l ) 把 ( 7 ) 分 别 代入边界条件 ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ;并记 , S : 二 K : 1 3 / ( E l ) , S : = K : I / ( E l ) 5 3 二 K 3 1 3 / ( E l ) , S ; = K ; I / ( E l ) 又 . k l 经 整理后 , 这些 方程分 别变成 : 4 0 0 ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 秽 . 蘸