zOla.nb 3 3.矢量表示,如图中的O矢量。自由矢量,长度方向相同即可认为两矢量相等,如图中OF=OP 4.极坐标表 模记为r=枓为矢量长度。模r=0时复数的辐角arg{-]不确定,模r≠0时辐角也可差2nπ,通常将(-丌,丌之间的辐 值称为辐角主值,记为Arg,故有 cax+ iysrcos 0+irsinA, r=vx2+y2,0=Argl=), argl==Arg[=)+2nT a.有些书以ag]表示辐角的主值,从而(1.8)式变为:Arg]=arg-]+2nr b.有些书将辐角主值定义于⑩0,2),这方便于解析推导 c.而在计算机语言中,则将主值取为-<Arg{≤,在介绍复数的根式运算之前,不妨试一试 √-1+10-15i=i+505×10-16,√-1-10-15i=-i+505×10-16, (*的输入國i國,√的输入ctr1-2 的输入区ee图,*) a=√-1.0+1015i;(*番 Mathematica认为辐角近似为*) b=√-1.0-10154:;(* Mathemat1a认为辐角近似为+ 5.05322×1016+1.i,5.05322×10-16-1.i 5.指数表示:利用Euer公式,可把复数写成指数形式 Eulers formula: ele= cos 8 +isin 6. so. ==rcos 0+irsin b=rele 9 a.欧拉公式实际上可以看成复数(实部为零的纯虚数)指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算 b.本质上是借助泰勒展开式 yn! Cos e+ism,(请验证之)解释了为何不定义:c6=sin6+cos c.同时又满足指数运算规律:cic=e(+),利于简化运算 d.量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数 其中:p20202 ax2by2a=2个算符 又如:算符2=-i 为球坐标的方位角)借助泰勒展开定义该算符的指数函数 (ia lsn eaf(d6)≡ fo) -ial+-(-ial}2+…f() fm(小)=f(d-a) 原来算符2的指数函数c+a表示绕z轴(逆时针)转动了a角度 e.欧拉公式在6=丌时有“最美的数学公式”,联系了几个基本数学常数 el+1=0 无理数”的“虚”“无理数”次方加1居然为0 6.球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切,切点为该球面的南极点,北极点标记为N(过原点的直径交球面于N),对任意3. 矢量表示，如图中的 OP 矢量。自由矢量，长度方向相同即可认为两矢量相等，如图中 OP = O′ P′ 4. 极坐标表示 模记为 r = z 为矢量长度。模 r = 0 时复数的辐角 arg[z] 不确定，模 r ≠ 0 时辐角也可差 2 n π ，通常将 (-π, π] 之间的辐 角值称为辐角主值，记为 Arg [z]，故有 z = x +  y = r cos θ +  rsin θ, r = x2 + y2 , θ = Arg[z], arg[z] = Arg[z] + 2 n π (1.8) a. 有些书以 arg[z] 表示辐角的主值，从而 (1.8) 式变为：Arg[ z] = arg[z] + 2nπ。 b. 有些书将辐角主值定义于 [0, 2 π)， 这方便于解析推导。 c. 而在计算机语言中，则将主值取为 -π < Arg[z] ⩽ π，在介绍复数的根式运算之前，不妨试一试，在  Mathematica 中 -1 + 10-15  =  + 5.05 × 10-16, -1 - 10-15  = - + 5.05 × 10-16, (*  的输入：ii, 的输入：ctrl-2,  的输入：ee, *) a = -1.0 + 10-15  ; (*  Mathematica 认为辐角近似为π *) b = -1.0 - 10-15  ; (*  Mathematica 认为辐角近似为-π *) {a, b} 5.05322 × 10-16 + 1. , 5.05322 × 10-16 - 1.  5. 指数表示：利用Euler公式，可把复数写成指数形式 Euler's formula :  θ = cos θ +  sin θ, so, z = r cos θ +  rsin θ = r  θ (1.9) a. 欧拉公式实际上可以看成复数（实部为零的纯虚数）指数运算的定义。这是在一个扩展的数域上定义指数运 算。 b. 本质上是借助泰勒展开式：  θ = n=0 ∞ ( θ)n n! = cos θ +  sin θ，请验证之  解释了为何不定义 ： θ = sin θ +  cos θ c. 同时又满足指数运算规律 ：θ1 θ2 = (θ1+θ2) ，利于简化运算； d. 量子力学中还进一步定义了以算符为宗量的指数函数：  ∇2 = n=0 ∞  ∇2 n n! , 其中：∇2 = ∂2 ∂ x2 + ∂2 ∂ y2 + ∂2 ∂ z2 是个算符 又如：算符 l  z = - ∂ ∂ ϕ ，（ϕ为球坐标的方位角 ） 借助泰勒展开定义该算符的指数函数 - α l  z - α l  z f (ϕ) ≡  m=0 ∞ (- α lz) m m!  f (ϕ) = 1 -  α lz + 1 2! (- α lz)2 + … f (ϕ) =  m=0 ∞ (-α)m m! f (m) (ϕ) = f (ϕ - α) 原来算符 l  z 的指数函数 - α l  z 表示绕 z 轴 （逆时针） 转动了 α 角度 e. 欧拉公式在 θ = π 时有“最美的数学公式”，联系了几个基本数学常数：  π + 1 = 0 ， “无理数” 的 “虚” “无理数” 次方加 1 居然为 0 6. 球面表示 过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为N（过原点的直径交球面于N），对任意 ζ ζ ζ z01a.nb 3