以前的全部历史,还必须说明此刻在服务装置中的顾客正处于哪一级装置上。为此,我 们用一个两维的随机变量E.,来表示系统的状态。它说明系统中共有k个顾客,其中正在 接受服务的那个顾客现在正处于第j级,这样一个随机变量实际上是满足马尔柯夫特性 的。状态的下一次变化(EH,E4M,…)只与E.,有关,而与Ek,以前的状态无关。 推广以上的两级装置,我们可以有一个r级服务装置,如图3.3所示。 图3.3r级负指数分布服务 其中单级的概率密度函数为: h(t)=rue u(o) 相应的数学期望和方差为:E[ 万] 我们可以直接求出系统服务时间的数学期望和方差 E[T]=rE(T=rru/u D[门]=rD[] 系统的服务时间分布的密度函数等于r个负指数分布的卷积,采用求卷积积分的方 法来求解这个分布是很困难的。为了简化求解过程,可以釆用拉普拉斯变换法来求解。 取负指数分布的拉普拉斯变换 h()<→H(s) 令b,()的拉普拉斯变换为B,(s)。 根据卷积定理,时域中的卷积等于变换域中的乘积,故有 B()=H'(s) s+r 求拉普拉斯逆变换,得 t≥0 (3.1) 这就是著名的r阶爱尔郎分布 如果在(31)式中令r=1,就得到了负指数分布,由此可知,负指数分布是爱尔 郎分布的一种特殊形式。爱尔郎分布具有广泛的用途,许多实际系统都可以用爱尔郎分 488488 以前的全部历史，还必须说明此刻在服务装置中的顾客正处于哪一级装置上。为此，我 们用一个两维的随机变量 Ek , j 来表示系统的状态。它说明系统中共有k 个顾客，其中正在 接受服务的那个顾客现在正处于第 j 级，这样一个随机变量实际上是满足马尔柯夫特性 的。状态的下一次变化（ Ek , j1 ，Ek1, j ，）只与 Ek , j 有关，而与 Ek , j 以前的状态无关。 推广以上的两级装置，我们可以有一个r 级服务装置，如图 3.3 所示。 r r  r r 1 2 r1 r 图 3.3 r 级负指数分布服务 其中单级的概率密度函数为： h  t r e u t rt    相应的数学期望和方差为：   1 E Th r  ，    2 1 D Th r  我们可以直接求出系统服务时间的数学期望和方差：    1 1 E T rE T r h r          ，    2 1 D T rD Th r   系统的服务时间分布的密度函数等于r 个负指数分布的卷积，采用求卷积积分的方 法来求解这个分布是很困难的。为了简化求解过程，可以采用拉普拉斯变换法来求解。 取负指数分布的拉普拉斯变换：      s r r h t H s    令b  t r 的拉普拉斯变换为 B  s r 。 根据卷积定理，时域中的卷积等于变换域中的乘积，故有   r r r s r r B s H s              求拉普拉斯逆变换，得       1 ! 1     r r r t e b t r r t r    t  0 （3.1） 这就是著名的 r 阶爱尔郎分布。 如果在（3.1）式中令r  1，就得到了负指数分布，由此可知，负指数分布是爱尔 郎分布的一种特殊形式。爱尔郎分布具有广泛的用途，许多实际系统都可以用爱尔郎分