rank(A)=rank( b )o 12.设A1,A12,…,An为m个n阶方阵,若A1A2…An=O。试证: rank(A1)+rank(A2)+…+rank(An)≤(m-1)n 13.设A,B为n阶方阵,满足ABA=B。证明:rank(I-AB)+rank(I+AB)≤n。 14.设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,证明 (1)若rank(A)=n,则rank(AB)=rank(B); (2)若rank(B)=n,则rank(AB)=rank(A) 15.设A=|247,3阶非零矩阵B满足BA=O,求rank(B) 16.设A是m×n矩阵,证明:(1)A是列满秩矩阵的充分必要条件是存在m阶 可逆矩阵P,使得A (2)A是行满秩矩阵的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使得 A=(I, o)Q 17.设A为m×n矩阵,且rank(A)=r。证明:存在m×r矩阵B和r×n矩阵C, 满足rank(B)=ank(C)=r,使得A=BC §3线性方程组 1.求下列线性方程组的通解: x1+x2+x3+x4+x5=0, 1) 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 2x,+ 6x5=0, 5x1+4x2+3x3+3 0 +2x2+x3-x4 6, 3x4+4xs=-7, (2){2x x4 2x1-3x,+x2+2x-2 +x2-2x1-6x4=4 2x1-x2-2x3+x4=0 1=6, x1+2x2 x4 x1+4x2+3x3-2x4 2.问a,b为何值时,齐次线性方程组 0 xtax2 +x 0. x1+x2+bx3=0 有非零解,此时并求出其解。rank( A ) = rank( B )。 12．设 A A Am , , , 1 2  为 m 个 n 阶方阵，若 A1A2  Am  O 。试证： rank (A1 )  rank (A2 )  rank (Am )  (m 1)n 。 13．设 A ，B 为 n 阶方阵，满足 1 ABA  B 。证明：rank (I  AB)  rank( I  AB )  n。 14．设 A 为 mn 矩阵， B 为 nm 矩阵，证明： （1）若 rank( A )  n ，则 rank( AB ) = rank( B )； （2）若 rank( B )  n ，则 rank( AB ) = rank( A )。 15.设            3 6 9 2 4 7 1 2 3 A ，3 阶非零矩阵 B 满足 BA  O ，求 rank (B) 。 16．设 A 是 mn 矩阵，证明：（1） A 是列满秩矩阵的充分必要条件是存在 m 阶 可逆矩阵 P ，使得          O I A P n 。 （ 2 ） A 是 行 满 秩 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 n 阶 可 逆 矩 阵 Q ，使得 A  I m , OQ 。 17．设 A 为 mn 矩阵，且 rank( A )  r 。证明：存在 mr 矩阵 B 和 r n 矩阵 C ， 满足 rank( B )  rank( C )  r ，使得 A  BC 。 §3 线性方程组 1．求下列线性方程组的通解： （1）                           5 4 3 3 0; 2 2 6 0, 3 2 3 0, 0, 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）                                  2 6 4; 2 3 2 2 9, 2 2 2 4, 2 3 4 7, 2 6, 1 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （3）                            2 4 3 2 7. 2 3 2, 3 2 1, 2 2 6, 2 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．问 a，b 为何值时，齐次线性方程组               0 0, 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x bx x ax x x x x 有非零解，此时并求出其解