fo (x2 F(1)= G()= fo Ddo f(x dx 其中g2(1)={(x,y +y+=≤1},D()={(x, +y-≤t (1)讨论F(在区间(0,+∞)内的单调性 (2)证明当t>0时,F()>=G() 【分析】(1)先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积 分,再根据导函数F'(t)的符号确定单调性;(2)将待证的不等式作适当的恒等变形后,构 造辅助函数,再用单调性进行证明即可. 【详解】(1)因为 F(O der dp f f(2)rsin pdr 2f(r2)rdr deff(2)rdr Cf(r2)ro F'()=2()f(r2)r(-nMb [f(?ydrl 所以在(0,+∞)上F()>0,故F(t)在(0,+∞)内单调增加 (2)因 f(r rdr G() 要证明t>0时F(1)>-G(1),只需证明t>0时,F()-=G(0)>0,即 f(r2)r2arlf(r (r2)h]2>0 令g()=[(2)y2t(r2-/ 则g(0=(2)()-r)>0,故g在(0+∞)内单调增加 因为g(t)在t=0处连续,所以当t>0时,有g(t>g(0) 又g(0)=0,故当t>0时,g(t)>0, 因此,当t>0时,F(1)>=G(1) 【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了,但难点是证 明(2)中的不等式,事实上,这里也可用柯西积分不等式证明:13   + + + =  ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) D t t f x y d f x y z dv F t  ，   − + = t D t f x dx f x y d G t 1 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( )  ， 其中 ( ) {( , , ) } 2 2 2 2  t = x y z x + y + z  t ， ( ) {( , ) }. 2 2 2 D t = x y x + y  t (1) 讨论 F(t)在区间 (0,+) 内的单调性. (2) 证明当 t>0 时， ( ). 2 F(t) G t   【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积 分，再根据导函数 F(t) 的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构 造辅助函数，再用单调性进行证明即可. 【详解】 (1) 因为        = = t t t t f r rdr f r r dr d f r rdr d d f r r dr F t 0 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) sin ( )        ， 2 0 2 0 2 2 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f r rdr tf t f r r t r dr F t t t   −  = ， 所以在 (0,+) 上 F(t)  0 ，故 F(t) 在 (0,+) 内单调增加. （2） 因   = t t f r dr f r rdr G t 0 2 0 2 ( ) ( ) ( )  ， 要证明 t>0 时 ( ) 2 F(t) G t   ，只需证明 t>0 时， ( ) 0 2 F(t) − G t   ，即 ( ) ( ) [ ( ) ] 0. 0 0 2 0 2 2 2 2 −     t t t f r r dr f r dr f r rdr 令    = − t t t g t f r r dr f r dr f r rdr 0 0 2 0 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ， 则 ( ) ( ) ( )( ) 0 2 0 2 2  = −   g t f t f r t r dr t ，故 g(t)在 (0,+) 内单调增加. 因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t>0 时，有 g(t)>g(0). 又 g(0)=0, 故当 t>0 时，g(t)>0, 因此，当 t>0 时， ( ). 2 F(t) G t   【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证 明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：