分部积分法:导出分部积分公式介绍使用分部积分公式的一般原则 1.幂×X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取 求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函 数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂·X”型的积分,使 用分部积分法可使“幂”降次,或对“X”求导以使其成为代数函数 例46 xIn xdx (幂对搭配) 例47 xcos xdx.(幂三搭配) 例48xe^d (幂指搭配) 例49「x2e2dx.(幂指搭配) 例50 例51 xarctgxdx.(幂反搭配 例52 2.建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是:对被积函数两因子之一 求导,进行分部积分若干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关 于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来 例53 e sin xdx 例54求1=∫e" cos bedu和12=」e" sin bxdx,,(a≠0) bx+-Ⅰ bsin bx acos bx +c 解得 L2=le sin bx-b1,. I2=asin bx-b cos bxe"+c 例5∫√a+x,(a>0) 解1三. 分部积分法: 导出分部积分公式. 介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取 求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函 数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂 × ⋅ X ”型的积分, 使 用分部积分法可使“幂”降次, 或对“ X ”求导以使其成为代数函数. 例 46 (幂对搭配) ∫ xdxx .ln 例 47 (幂三搭配) ∫ xdxx .cos 例 48 (幂指搭配) ∫ dxxe . x 例 49 (幂指搭配) ∫ . 2 dxex x 例 50 ∫ dxe . x 例 51 (幂反搭配) ∫ xarctgxdx. 例 52 ∫ xdx.arccos 2．建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一 求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关 于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例 53 ∫ xdxe .sin x 例 54 求 和 ∫ = bxdxeI ax cos 1 ). 0 ( ,sin 2 = ≠ ∫ abxdxeI ax 解 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + sin . 1 cos , 1 2 1 1 2 I a b bxe a I I a b bxe a I ax ax 解得 . sin cos , sin cos 2 22 1 22 ce ba bxbbxa I ce ba bxabxb I ax ax + + − = + + + = 例 55 ∫ + > ). 0 ( , 22 adxxa 解 ∫ + ⋅−+= dx xa x xxaxI 22 22 = = ∫∫ + + + + −+ dx xa a dx xa xa xax 22 2 22 22 22 = 95