第2章 有限单元法基本原理 结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第1章以弹性力学 平面问题为例，阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏 系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述有限 单元法的基本原理，内容包括：①)介绍定解问题的微分方程提法：2)根据微分 方程的等效积分形式，推导第1章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分 原理，从而建立定解问题的泛函变分提法：3)基于势能变分原理推导位移有限 单元法的普遍公式，并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明：(4)基于余 能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。 在本章的阐述中，仍以结构分析课题为例，但所有方面的论述均以一般性说 明为先导。 2.1微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量，它们在 一定区域内满足某些控制方程：在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始 条件，它们统称为定解条件：控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程 或数学模型，这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提 法。 为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力 学模型等，它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念，然后给出 定解问题微分方程提法的一般形式，最后列出弹性力学问题的微分方程。 2.1.1结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以 建构分析模型：而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制 条件和参数的正确反映。第 ２章  有限单元法基本原理 结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第１章以弹性力学 平面问题为例，阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏 系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述有限 单元法的基本原理，内容包括：（１）介绍定解问题的微分方程提法；（２）根据微分 方程的等效积分形式，推导第１章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分 原理，从而建立定解问题的泛函变分提法；（３）基于势能变分原理推导位移有限 单元法的普遍公式，并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；（４）基于余 能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。 在本章的阐述中，仍以结构分析课题为例，但所有方面的论述均以一般性说 明为先导。 ２１ 微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量，它们在 一定区域内满足某些控制方程；在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始 条件，它们统称为定解条件；控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程 或数学模型，这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提 法。 为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力 学模型等，它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念，然后给出 定解问题微分方程提法的一般形式，最后列出弹性力学问题的微分方程。 ２１１ 结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以 建构分析模型；而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制 条件和参数的正确反映