《高等数学》下册教案 第十章重积分 川n6-sin xyda=3go-j。sin xyda=3-0023=60 二、二重积分的性质 可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设二重积分存在。 性质1、川nfx,y)do=nf(x,y)do,k为非零常数： 性质2、∬n/x,)gxdg=川。fx,do±川。gxda: 性质3、若D=D,+D,且D∩D,=(除边沿部分外)，则 ∬nfx,dg=。fcdg+∬nfx,do 性质4（保序性）、若fx川≥gx,川，(x,)∈D,剥：川。fx)do≥川。g(xo: 表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值 的大小。 特例：(1)若fx)20,(x,)∈D,则∬nfx,y)do≥0： 21∬(das∬lfx,川da 其中2)几何意义在于：左端—体积的代数和，右端—体积。 性质5、（估值定理）若m≤fx,)≤M,(c,)∈D,则 mc≤∬nf,y)do≤Ma （g是D的面积) 注：利用此性质可以估计积分值的范围。 性质6、（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在（⑤，）∈D,使得： ∬nfx,y)do=f(5,n)o(o是D的面积） 证明：因为f(x,)在有界闭区域D上连续，则在D上可以取得最大、最小值M与m,即 m≤fx,)≤M,(xy)∈D;根据性质4， 八。mda≤j。fx,dos∬。Mia 即mo≤川nf心，o≤Mo,浅m≤号川。fdo≤M,由闭区城上连续画数的性质，存在 (传，eD,使得f5,0=号。fxdo,即：广。fx,da=f5,0a 例4、比较积分∬。(x+dg与川。x+do的大小，D由(x-2)+0-)=2围成的圆城。 共29页一第3页 果水安