解:丁 dx -x arcsin x-2x arcsin - d(arcsin)=In arcs+C arcsin 、第二类换元法 问题:「x51-x2dx=? 解决方法:改变中间变量的设置方法 过程:令x=snt→dx= cos tdt, ∫(smyl-smn2 Icstd (应用“凑微分”即可求出结果) 定理2设x=v()是单调的、可导的函数,并且v'(1)≠0,又设/[v(t)y'(1)具 有原函数,则有换元公式∫(x/=。其中v()是x=v(0 的反函数 证:设Φ(1)为/v(t)y'(t)的原函数, 令F(x)=dy(x 则F(x)=如.d [v()y(t) v(0)v(1)=∫(x) 说明F(x)为f(x)的原函数 f(x)dx= F(x)+c =ply(x)+C, f(x)dx=ll fly(oly'(oa 第二类积分换元公式 例16求∫(a>0 解:令x= a tan t→dh=asec2td a sec tdt = sec tdt =In(sec t+ tant)+C a sec t 66 解： dx x x  − 2 4 arcsin 1 2 2 2 arcsin 2 1 1 2 x d x x        − = ) 2 (arcsin 2 arcsin 1 x d x  = . 2 ln arcsin C x = + 二、第二类换元法 问题： 1 ? 5 2 − =  x x dx 解决方法：改变中间变量的设置方法. 过程：令 x = sin t  dx = costdt, − =  x x dx 5 2 1 (sin t) 1 sin t costdt 5 2  − t tdt 5 2 sin cos  = = （应用“凑微分”即可求出结果） 定理 2 设 x =(t) 是单调的、可导的函数，并且 (t)  0 ，又设 f [(t)](t) 具 有原函数，则有换元公式   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt      = =  其中  (x) 是 x =(t) 的反函数. 证：设 (t) 为 f [(t)](t) 的原函数, 令 F(x) = [(x)] 则 dx dt dt d F x   ( ) = = f [(t)](t) , ( ) 1  t  = f [(t)] = f (x). 说明 F(x) 为 f (x) 的原函数,   f (x)dx = F(x) +C = [(x)]+C,   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt      = =  第二类积分换元公式 例 16 求 ( 0). 1 2 2  +  dx a x a 解：令 x = a tan t dx a tdt 2  = sec        − 2 , 2   t = +  dx x a 2 2 1 a tdt a t 2 sec sec 1    = sec tdt = ln(sec t + tan t) +C