若被积函数是x,yx,…,x的有理式时,设n为n1(1≤≤k)的最小公倍数作代换 t=《x,有x=t",dx=nt"-dt.可化被积函数为t的有理函数 例34 t dt 例35 6(1+t)d+6 6x+√x+lnll-9x|+c 若被积函数中只有一种根式vax+b或y/ax+b x+e可试作代换=am+b或 ax+b 从中解出x来 例36 1+√x+2 例37 例38 给出两种解法 √x2-1 例3Jx-1k=5x3-10x2)=2J2+y,20m= t+12)d=++c=(x2-1)2+(x2-1)2+c 本题还可用割换计算,但较繁 3.双曲代换:利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x=1,令x=asht,可去掉型如 +x2的根式.dx= achat.化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如若被积函数是 nn nk , , , xxx 1 2 " 的有理式时, 设 为n kin )1(i ≤ ≤ 的最小公倍数,作代换 n = xt , 有 dtntdxtx . 可化被积函数为 的有理函数. n n 1 , − == t 例 34 ∫ dx x e x . 例 35 ∫ ∫ ∫ == − ++−= − ===== − = " t dt dtt t dtt xx dx xt 1 6)1(6 1 6 2 3 2 6 ∫ ⎟ + cxxx ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++−= 6 3 6 1ln 2 1 6 . 若被积函数中只有一种根式 n + bax 或 , n ecx bax + + 可试作代换 n += baxt 或 n. ecx bax t + + = . 从中解出 x 来. 例 36 ∫ ++ 3 x 21 dx . 例 37 ∫ + . 11 dx x x x 例 38 ∫ . sin dx x x (给出两种解法) 例 39 ∫∫ ∫ =− − ====== =⋅+ −= xdxxdxxx tdttt xt 2)1( 2 1 )( 1 2 1 1 2 1 23 22 2 2 ∫ xc +−+−=++=+= cx tt dttt 2 3 2 2 5 2 35 24 )1( 3 1 )1( 5 1 35 )( . 本题还可用割换计算, 但较繁. 3． 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 2 2 xshxch =− 1 , 令 = ashtx , 可去掉型如 22 + xa 的根式 . = achtdtdx . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式 , 如 : 92